二等辺三角形の面積を計算する方法

二等辺三角形は、2 辺の長さが等しい三角形です。 2 つの等しい辺は底辺と等しい角度をなし、底辺の中点のすぐ上で交差します。定規と同じ長さの鉛筆 2 本を使って実験することができます。三角形をどの方向に傾けても、鉛筆の先は交差しません。二等辺三角形のこれらの特殊な特性により、わずかな情報だけでその面積を計算できます。

ステップ

辺の長さによる面積の計算

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/90\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/9\/90\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1平行四辺形の面積計算を復習します。正方形や長方形を含め、2 組の平行な辺を持つ四角形はすべて平行四辺形です。すべての平行四辺形には、面積の簡単な公式があります。面積は底辺×高さ、つまりA = bh です。 ^[1] 平行四辺形を水平面上に平らに置いた場合、底辺は水平面に接する側になります。名前が示すように、高さは地面からの高さ、つまり下端から反対側までの距離です。測定する際は、高さがベースに対して 90 度の角度になるようにしてください。
   • 正方形や長方形の場合、垂直の辺は地面に対して直角なので、高さは垂直の辺の長さに等しくなります。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a6\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/a\/a6\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2三角形と平行四辺形を比較します。これら 2 つの形状の間には単純な関係があります。平行四辺形を対角線に沿って半分に切ると、2 つの同一の三角形が得られます。逆に、同一の三角形が 2 つある場合は、それらを組み合わせると平行四辺形になります。これは、任意の三角形の面積がA = ½bhと表され、対応する平行四辺形の面積の半分になることを意味します。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/4d\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/4\/4d\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3二等辺三角形の底辺を求めます。公式はわかりましたが、二等辺三角形の「底辺」と「高さ」とは正確には何でしょうか?底辺は比較的簡単に理解できます。二等辺三角形の不等辺 3 辺を使用するだけです。
   • たとえば、二等辺三角形の辺が 5cm、5cm、6cm の場合、6cm の辺が底辺になります。
   • 三角形の 3 辺の長さが等しい場合、つまり三角形が正三角形である場合は、どの辺を底辺として選択することもできます。正三角形は二等辺三角形の特殊なケースですが、同じ方法で面積を計算できます。 ^[2]
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7e\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-4-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-4-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/7\/7e\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-4-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-4-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4底辺と対角頂点の間に線分を描きます。描かれた線分は底辺に対して直角になる必要があります。線分の長さは三角形の高さであり、これを「h」と呼びます。 「h」の値がわかれば、面積を求めることができます。
   • 二等辺三角形では、この線分と底辺との交点は常に底辺の中点にあります。
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a3\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-5-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-5-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/a\/a3\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-5-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-5-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5二等辺三角形の半分を見てください。二等辺三角形の高さは、それを 2 つの同一の直角三角形に分割するために使用されることに注意してください。そのうちの 1 つを見て、3 つのエッジを特定します。
   • 直角の 1 つの長さは底辺の長さの半分です。 ${\displaystyle \frac{b}{2}}$ 。
   • もう一方の直角の辺の高さは「h」です。
   • 直角三角形の斜辺は二等辺三角形の辺です。 「s」にしましょう。
6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e5\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/e\/e5\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6ピタゴラスの定理を使用します。 2辺の長さがわかれば、ピタゴラスの定理を使って3辺目の長さを求めることができます: (辺1) ² + (辺2) ² = (斜辺) ² 。この問題で使用した変数を代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle (\frac{b}{2}{)}^2+h^2=s^2}$ 。
   • ピタゴラスの定理を学んだことがあるかもしれませんが、その公式は${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$ 。 a、b、c の代わりに「辺」と「斜辺」を使用すると、前の三角形の変数との混乱を避けることができます。
7. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/03\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/0\/03\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7 「h」を検索します。面積の公式では「b」と「h」が使われますが、「h」の値はまだ分からないことに注意してください。数式を変形して「h」を見つけます。
   • ${\displaystyle (\frac{b}{2}{)}^2+h^2=s^2}$
     ${\displaystyle h^2=s^2-(\frac{b}{2}{)}^2}$
     ${\displaystyle h=\sqrt{(}{s}^2-(\frac{b}{2}{)}^2)}$ 。
8. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/07\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/0\/07\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 8三角形の値を代入して「h」を求めます。この公式がわかれば、辺の長さがわかっている任意の二等辺三角形に使用できます。底辺の長さを「b」に、ウエストの長さを「s」に代入するだけで、「h」の値がわかります。
   • たとえば、二等辺三角形の辺が 5 cm、5 cm、6 cm の場合、「b」 = 6、「s」 = 5 になります。
   • これらの値を式に代入します。
     ${\displaystyle h=\sqrt{(}{s}^2-(\frac{b}{2}{)}^2)}$
     ${\displaystyle h=\sqrt{(}{5}^2-(\frac{6}{2}{)}^2)}$
     ${\displaystyle h=\sqrt{(}25-3^2)}$
     ${\displaystyle h=\sqrt{(}25-9)}$
     ${\displaystyle h=\sqrt{(}16)}$
     ${\displaystyle h=4}$ cm。
9. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/94\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-9.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/94\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-9.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 9底辺と高さを面積の公式に代入します。これらの値がわかれば、このセクションの冒頭にある式、area = ½bh を使用できます。この式に b と h の既知の値を代入して答えを計算します。答えには必ず平方単位を追加してください。
   • 上記の例を使用すると、辺の長さが 5-5-6 の三角形の底辺は 6 cm、高さは 4 cm になります。
   • A = 1/2 bh
     A = ½(6cm)(4cm)
     A = 12cm ²です。
10. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c1\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/c\/c1\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 10より難しい例題を解いてみましょう。ほとんどの二等辺三角形の面積は、上記の例よりも計算が困難です。計算された高さには通常平方根が含まれており、整数に簡略化することはできません。このような場合は、高さを簡略化した形式で平方根として表すことができます。次に例を示します。
    • 辺の長さがそれぞれ 8cm、8cm、4cm の三角形の面積を求めます。
    • 他の辺の長さと等しくない長さ 4cm の辺を「b」といいます。
    • 高い${\displaystyle h=\sqrt{8^2-(\frac{4}{2}{)}^2}}$
      ${\displaystyle =\sqrt{64-4}}$
      ${\displaystyle =\sqrt{60}}$
    • 平方根を簡略化する因数: ${\displaystyle h=\sqrt{60}=\sqrt{4\ast 15}=\sqrt{4}\sqrt{15}=2\sqrt{15}}$ 。
    • エリア${\displaystyle =\frac{1}{2}bh}$
      ${\displaystyle =\frac{1}{2}(4)(2\sqrt{15})}$
      ${\displaystyle =4\sqrt{15}}$
    • 答えをこのように書くこともできますし、この値を計算機に入力して、およそ 15.49 平方センチメートルという小数点近似値を得ることもできます。
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三角法の使用

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b9\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-11.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/b\/b9\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-11.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1エッジとコーナーから始めます。三角法を勉強したことがあるなら、一辺の長さがわからなくても二等辺三角形の面積を計算できます。以下は、あなたが以下のことだけを知っている場合の質問例です。 ^[3]
   • ウエスト丈「s」は10cmです。
   • 2つの腰によって形成される角度θは120度に等しい。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a6\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-12.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/a\/a6\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-12.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2二等辺三角形を 2 つの直角三角形に分割します。 2 つのウエストの交差点から始めて、下端に対して垂直な線分を描きます。こうすると、2 つの同一の直角三角形ができます。
   • この線分は角度 θ を 2 つの等しい角度に分割します。どちらの三角形の角度も ½θ に等しく、この場合は (½)(120) = 60 度です。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/db\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-13.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/db\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-13.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3三角法を使用して、「h」の値を求めます。直角三角形なので、三角関数の正弦、余弦、正接を使用できます。この例では、斜辺がわかっており、既知の角度に隣接する辺「h」の長さを見つけたいとします。余弦 = 隣接辺 / 斜辺なので、既知の角度を使用して「h」を見つけることができます。
   • cos(θ/2) = h / s
   • cos(60°) = h / 10
   • h = 10cos(60°)
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/4f\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-14.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-14.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/4\/4f\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-14.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-14.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4残りの辺の長さを計算します。この直角三角形には、長さが分からない別の辺があり、これを「x」に設定できます。正弦 = 対辺/斜辺なので、次の式が成り立ちます。
   • sin(θ/2) = x / s
   • sin(60º) = x / 10
   • x = 10sin(60º)
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/1b\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-15.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-15.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/1\/1b\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-15.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-15.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5 x を二等辺三角形の底辺に関連付けます。これで、焦点の対象を二等辺三角形全体に「拡大」することができます。底辺「b」はそれぞれの長さが「x」の 2 つのセグメントに分割されるため、「b」は「x」の 2 倍に等しくなります。
6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b0\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-16.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-16.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/b\/b0\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-16.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-16.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6計算した「h」と「b」の値を基本面積の式に代入します。底辺と高さの長さがわかれば、標準の公式 A =​​ ½bh を使用できます。
   • ${\displaystyle A=\frac{1}{2}bh}$
     ${\displaystyle =\frac{1}{2}(2x)(10cos60)}$
     ${\displaystyle =(10sin60)(10cos60)}$
     ${\displaystyle =100sin(60)cos(60)}$
   • 計算機を使って角度を計算し、その結果を計算機に入力することができます。得られる答えは約 43.3 平方センチメートルです。あるいは、三角法の特性を適用して、A = 50sin(120º) と簡略化することもできます。
7. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a5\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-17.jpg\/v4-460px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-17.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/a\/a5\/Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-17.jpg\/v4-728px-Find-the-Area-of-an-Isosceles-Triangle-Step-17.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7この計算方法を一般的な式に変換します。解法のプロセスがわかれば、毎回導出と計算のプロセス全体を実行する代わりに、一般的な公式を使用できます。特定の値を使わずにこのプロセスを繰り返し、三角関数の特性を適用すると、次の結果が得られます。 ^[4]
   • ${\displaystyle A=\frac{1}{2}{s}^{2}sin\theta }$
   • sはウエストの長さです。
   • θ は 2 本の脚の間の角度です。
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ヒント

• 2 つの辺が等しく、直角を持つ直角二等辺三角形を扱っている場合、面積の計算ははるかに簡単になります。直角の 1 つの辺を底辺として使用し、もう 1 つの直角の辺を高さとして使用できます。この時点で、式 A =​​ ½ b * h は ½s ²に簡略化できます。ここで、s は直角の脚の長さです。
• 平方根には、正の解と負の解の 2 つがあります。幾何学の問題では、どの三角形も「負の高さ」を持たないため、負の解は無視できます。
• 一部の三角法の問題では、二等辺三角形の底辺の長さや 1 つの角の角度など、異なる初期条件が提供される場合があります。基本的な解決法は同じで、二等辺三角形を直角三角形に分割し、三角関数を使用して高さの値を解きます。