微積分学における導関数の求め方

導関数を使用すると、最大値、最小値、山、谷、傾きなど、曲線グラフに関する多くの情報を取得できます。複雑な方程式でも、微分を使ってグラフ化できます。残念ながら、導関数を計算するプロセスは通常非常に面倒ですが、この記事では簡単な方法を説明します。

ステップ

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/13\/Take-Derivatives-in-Calculus-Step-1.jpg\/v4-460px-Take-Derivatives-in-Calculus-Step-1.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/13\/Take-Derivatives-in-Calculus-Step-1.jpg\/v4-828px-Take-Derivatives-in-Calculus-Step-1.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":306,"bigWidth":728,"bigHeight":484,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1微分表記の意味を理解します。以下の 2 つの表記法が最も一般的ですが、さまざまな表記法がここにあります。
- ライプニッツ記号。これは、y と x の 2 つの変数がある場合に最もよく使用されます。 dy/dx は y の x に対する微分です。これを Δy/Δx として考えると簡単かもしれません。ここで、x と y はわずかに異なります。この式は、導関数の極限定義も表します: limh->0 (f(x+h)-f(x))/h。 2階微分を表すときは、d ² y/dx ²と書きます。
- ラグランジュ表記法。 f関数はf'(x)とも表記されます。これは「f撇x」と発音します。この表記は上記の表記よりも単純で、簡単に見えます。高次の導関数を得るには、f に「 ' 」を追加するだけです。2 次導関数は f (x) になります。
2デリバティブの定義と用途を理解する。まず、直線の傾きを求めるには、2 つの点を選択し、その座標を (y ₂ - y ₁ )/(x ₂ - x ₁ ) に代入します。しかし、これは直線の方程式にのみ適用されます。曲線の傾きを求めるには、2 つの点を見つけて [f(x + dx) - f(x)]/dx を代入します。 Dx は「デルタ x」の略で、2 つの x 座標の差を表します。この式は (y ₂ - y ₁ )/(x ₂ - x ₁ ) と似ていますが、形式が異なることに注意してください。この方法を使用すると曲線に偏差が生じるため、傾きを求めるには間接的な方法が使用されます。 (x, f(x)) の傾きを求めるには、dx が 0 に近づく必要があります。そうすると、2 つのポイントは互いに無限に近くなります。ただし、分母を 0 にすることはできないため、2 つの点の値を代入した後、因数分解などの方法を使用して分母の dx を除去する必要があります。消去後、dx を 0 にして方程式を取得します。これは(x, f(x))の傾きです。微分は、任意の曲線の傾きを求めるために使用される一般的な公式です。複雑に思えるかもしれませんが、説明のためにいくつか例を挙げます。広告する

方法1方法1/4:

顕微鏡検査

1片側の y 式が既にわかっている場合は、明示的な導関数を使用して解きます。
2式を [f(x + dx) - f(x)]/dx。たとえば、y = x ²の場合、[(x + dx) ² - x ² ]/dx となります。
3因数を [dx(2x + dx)]/dx。上限と下限の dx を削除します。 2x + dx を取得し、dx を 0 に近づけると 2x が得られます。これは、任意の y = x ²曲線の傾きが 2x であることを意味します。 xを代入して点の傾きを求める
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0d\/Take-Derivatives-in-Calculus-Step-6.jpg\/v4-460px-Take-Derivatives-in-Calculus-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0d\/Take-Derivatives-in-Calculus-Step-6.jpg\/v4-828px-Take-Derivatives-in-Calculus-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":306,"bigWidth":728,"bigHeight":484,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4以下は同様の形式の微分式です。
- 任意の次数の導関数は、次数に元の方程式 - 1 を掛けた値です。たとえば、 x ⁵の導関数は 5x ⁴であり、 x ^3.5の導関数は 3.5x ^2.5です。 x の前に数字がある場合は、その数字をその回数だけ掛け合わせます。たとえば、 3x ⁴の導関数は 12x ³です。
- 任意の定数の導関数は 0 です。 8の導関数は0である
- 和の導関数は導関数の合計です。例えば、x ³ + 3x ²の導関数は3x ² + 6xとなる。
- 積の導関数は、最初の項に次の項を掛けた導関数と、次の項に前の項を掛けた導関数を足したものです。例えば、x ³ (2x + 1)はx ³ (2) + (2x + 1)3x ²となり、8x ³ + 3x ²となる。
- 商の導関数は（f/gの形式であると仮定すると）[g（fの導関数）- f（gの導関数）]/g ^{2 です}。 (x ² + 2x - 21)/(x - 3)の導関数は(x ² - 6x + 15)/(x - 3) ²です。
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方法2方法2/4:

暗黙の微分

1 片側だけに y を含む式を書くことができない場合は、暗黙の微分を使用して導関数を求める必要があります。 y を別に書き出すことにこだわったとしても、導関数を求めるのに dy/dx を使用するのはやはり面倒です。次の例は、この問題の解決方法を示しています。
2例 x ² y + 2y ³ = 3x + 2y、y を f(x) に置き換えると、y は関数であることがわかります。するとx ² f(x) + 2[f(x)] ³ = 3x + 2f(x)となります。
3この方程式を微分するには、両辺を x について導関数をとります (微分法の専門用語)。次の式が得られます: x ² f'(x) + 2xf(x) + 6[f(x)] ² f'(x) = 3 + 2f'(x)。
4f(x)をyに置き換えます。 f'(x) も置き換えないように注意してください。これは f(x) と同じではありません。
5f'(x)を解きます。答えは(3 - 2xy)/(x ² + 6y ² - 2)となります。広告する

方法3方法3/4:

高階微分

1一般に、高次導関数を求めるということは、導関数の導関数（つまり、2 次導関数）を求めることを意味します。 3 次導関数を求めるように求められた場合、それは導関数の導関数の導関数を求めることを意味します。場合によっては、高次の導関数は 0 になります。

方法 4方法4/4:

チェーンルール

1 y が z の微分方程式であり、z が x の微分方程式である場合、y は x の合成方程式です。 y の x に関する微分 (dy/dx) は (dy/du)*(du/dx) です。連鎖律は、(2x ⁴ - x) ³のような複合項を含む方程式に適用できます。導関数を求めるには、求積法則を使用して、方程式全体に次数を掛け、方程式全体の次数から 1 を引きます。次に、方程式全体に内部項の導関数 (ここでは 2x ⁴ - x) を掛けます。答えは3(2x ⁴ - x) ² (8x ³ - 1)です。広告する

ヒント

複雑な微分問題に遭遇したときは、心配しないでください。積の法則と商の法則を使って方程式をできるだけ小さな部分に分割し、各項の導関数を取ってみてください。
積の法則、商の法則、連鎖の法則を練習し、微積分の難しい点である暗黙の微分に特に注意を払います。
電卓の使い方に慣れてください。さまざまな計算機関数を試して、導関数を解いてみましょう。特に、正接関数と微分関数を使用して問題を解決する方法を知っておく必要があります（そのような関数が利用できる場合）
三角関数の微分の基本原理と使い方を覚えましょう。

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