代数式を簡略化する方法

代数式を簡略化する方法を学ぶことは、基本的な代数を習得するための重要な部分であり、すべての数学者にとって非常に役立つツールです。簡略化により、長くて複雑な代数式が単純化され、簡単に解けるようになります。基本的な簡略化の方法は、数学が苦手な人でも簡単に習得できます。特別な数学の知識は必要ありません。いくつかの簡単な手順を実行するだけで、いくつかの一般的なタイプの代数式を簡略化できます。具体的な方法については、以下の最初のステップから始めてください。

ステップ

重要な概念

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d4\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d4\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1変数と指数に基づいて同類項を定義します。代数学では、「同類項」とは同じ変数と同じ指数を持つ項です。つまり、同じタイプの項には同じ変数があるか、変数がまったくなく、同じ変数の指数は同じか、指数がまったくありません。各項目内の変数の順序は重要ではありません。
   • たとえば、3x ²と 4x ^{2 は}、同じ変数 x を持ち、指数がどちらも 2 であるため、類似項です。ただし、x の指数が異なるため、x と^{x2 は}同類項ではありません。たとえば、-3yx と 5xz は変数の組み合わせが異なるため、類似の用語ではありません。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7b\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7b\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 2 つの数値の積に数値を因数分解します。因数分解とは、数値を 2 つの数値の積の形に分解するプロセスです。数値の因数分解は一意ではありません。たとえば、12 は 1 × 12、2 × 6、3 × 4 と表記できるため、1、2、3、4、6、12 はすべて 12 の因数です。別の言い方をすると、数の因数とは、その数を均等に割り切れる数のことです。
   • たとえば、20 を因数分解したい場合は、20 を4 × 5と書きます。
   • 20x のように因数分解できる変数を持つ項もあり、これは4(5x)と表記できることに注意してください。
   • 素数は、それ自身と 1 でのみ割り切れるため、因数分解できません。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/db\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/db\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 PEMDAS 操作順序。代数式を簡略化すると、解に一歩近づく計算になる場合があります。したがって、操作の順序を念頭に置いておくと、簡略化中に間違いを防ぐことができます。 PEMDAS は、演算の順序を覚えるのに役立ちます。各文字は、次の順序で演算に対応しています。
   • Pは括弧を表します
   • Eは指数を表す
   • Mは掛け算を表す
   • Dは除算を表す
   • Aは加算を表す
   • Sは減算を表します
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類似アイテムを組み合わせる

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3f\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-4-Version-3.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-4-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/3f\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-4-Version-3.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-4-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1方程式を書きます。最も単純な代数方程式には少数の変数しか含まれず、係数は分数や根号のない整数です。このような方程式を解くには、いくつかの簡単な手順のみが必要です。ほとんどの数学の問題と同様に、代数式を簡略化する最初のステップは、それを書き出すことです。
   • 1 + 2x - 3 + 4x を例に挙げてみましょう。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/77\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-5-Version-3.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-5-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/77\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-5-Version-3.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-5-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2類似アイテムを検索します。方程式を書いた後、方程式内の同類項を見つける必要があります。同類項には同じ変数と指数があることを忘れないでください。
   • たとえば、1 + 2x - 3 + 4x では、2x と 4x は同じ変数 x を持ち、指数は両方とも 1 です。1 と -3 は定数項であり、変数は含まれません。したがって、 2x と 4x は同類項であり、 1 と -3 も同類項です。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0a\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0a\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3類似のアイテムをマージします。類似したアイテムを見つけたら、それらを組み合わせる必要があります。方程式に同類項が含まれなくなるまで、同類項を加算します（または、負の符号がある場合は減算します）。
   • 上記の例では
     • 2倍 + 4倍 = 6倍
     • 1 + -3 = -2
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3a\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/3a\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4簡略化された項を使用して、簡略化された式に結合します。類似項を結合した後、新しい項を使用して式を再構成します。最終式の変数は元の式と同じであり、新しい式は元の式と等しくなります。
   • この場合、簡略化する 2 つの項は ​​6x と -2 なので、新しい式は6x - 2になります。オリジナル（1 + 2x - 3 + 4x）と同じですが、短くて扱いやすくなっています。同時に、新しい式は因数分解しやすくなっており、これは重要な簡略化ツールとして以下で説明します。
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8c\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8c\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5 操作の順序に従って類似項目をマージします。前の例のような単純な代数式を簡略化すると、式内の同類項を見つけるのは簡単です。ただし、括弧、分数、根号などが含まれるより複雑な代数式では、類義語は特に目立ちません。この場合、最後の方程式にプラス記号とマイナス記号のみが含まれるまで、式内の項を演算順に計算する必要があります。
   • たとえば、方程式5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x。 3x と 2x が同類項であると単純に想定してこれらを組み合わせるのは間違いです。なぜなら、式内の括弧は同類項を見つけるためにさらに計算が必要であることを示しているからです。まず、演算の順序に従って、式の各項を次のように計算します。
     • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
     • 15倍 - 5 + x(x) + 8 - 3倍
     • 15倍 - 5 + x ² + 8 - 3倍。これで、方程式内の演算子はプラスとマイナスのみとなり、同類項を組み合わせることができます。
     • x ² + (15倍 - 3倍) + (8 - 5)
     • x ² + 12x + 3
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因数分解

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7f\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-9-Version-2.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-9-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/7f\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-9-Version-2.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-9-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 つの最大公約数。因数分解は、すべての項の共通因数を見つけることによって代数式を簡略化する方法です。始める前に、各項の最大公約数を見つける必要があります。言い換えると、方程式の各項を割り切れる最大の数を見つける必要があります。
   • たとえば、9x ² + 27x - 3 です。各項は 3 で割り切れること、また各項を割り切れる 3 より大きい数は存在しないことに注目してください。したがって、3 が最大公約数となります。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2b\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2b\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 式の各項を最大公約数で割ります。次に、方程式の各項を、先ほど見つけた最大公約数で割ります。これにより、元の方程式よりも係数が小さくなる方程式が得られます。
   • 上記の式の各項を最大公約数 3 で割ります。
     • 9x ² /3 = 3x ²
     • 27倍/3 = 9倍
     • -3/3 = -1
     • したがって、新しい式は3x ² + 9x - 1です。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ec\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-11-Version-2.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-11-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ec\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-11-Version-2.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-11-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 元の式を、最大公約数と新しい式の積の形に書き直します。得られる新しい式は元の式と同じではないため、簡略化の結果ではありません。新しい式は最大公約数を抽出した結果であるため、簡略化された式を元の式と等しくするには、新しい式を括弧内全体にしてから、最大公約数を掛ける必要があります。
   • たとえば、3x ² + 9x - 1 の場合、最初に括弧を追加し、次に最大公約数を掛けて3(3x ² + 9x - 1)を取得します。これは、元の式 9x ² + 27x - 3 と同じです。
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/31\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-12-Version-2.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-12-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/31\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-12-Version-2.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-12-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4因数を使用して分数を簡略化します。最大公約数を抽出した後、なぜそれを再度掛け算する必要があるのか​​疑問に思うかもしれません。実際、因数分解には代数式を簡略化できるトリックが数多くあります。最も簡単なトリックは、「分数の分子と分母に同時に同じ数を掛けると、分数の値は変化しない」という結論を使用することです。次のように：
   • 元の式は 9x ² + 27x - 3 であり、これを分母が 3 の分数の分子に代入すると、(9x ² + 27x - 3)/3 となります。因数分解することで簡略化できます。
     • 元の式の最大公約数を抽出します: (3(3x ² + 9x - 1))/3
     • 分子と分母の両方に同じ係数3があることに注目してください。したがって、分子と分母の両方を3で割ると、(3x ² + 9x - 1)/1になります。
     • 分数の分母は「1」で分子は等しいので、元の分数は3x ² + 9x - 1に簡略化できます。
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その他の簡略化手法の使用

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b0\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-13-Version-2.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-13-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b0\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-13-Version-2.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-13-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1分数を簡略化するには、同じ因数で割ります。分子と分母に同じ因数がある場合は、分子と分母の両方から割ることができます。共通因数を見つけるために、分子、分母、またはその両方を因数分解する必要がある場合もあれば、観察するだけで共通因数を見つけることができる場合もあります。分子の項を分母で割ることで代数式を簡略化できる場合があることに注意してください。
   • 以下に、単純な因数の例を示します: (5x ² + 10x + 20)/10。5x ²の係数「5」は 10 より小さく、10 は 5 の因数ではありませんが、分子の各項を 10 で割ることで、簡略化された代数式を得ることができます。
     • 10で割った結果は((5x ² )/10) + x + 2です。これを書き直すと(1/2)x ² + x + 2となる。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0a\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-14-Version-2.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-14-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0a\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-14-Version-2.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-14-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2因数の完全平方を使用して根号を簡略化します。根号が付いた式は根号と呼ばれます。根号の下の完全平方数を抽出し、その平方根を根号の前に書くことで根号を簡略化します。
   • 例えば√(90)。 90 を 9 と 10 の積と考えます。9 は完全な平方数で、その平方根は 3 です。次に、平方根記号の下から 3 を引き出します。つまり:
     • √(90)
     • √(9 × 10)
     • （√(9) × √(10)）
     • 3 × √(10)
     • 3√(10)
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/36\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-15-Version-2.jpg\/v4-460px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-15-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/36\/Simplify-Algebraic-Expressions-Step-15-Version-2.jpg\/v4-728px-Simplify-Algebraic-Expressions-Step-15-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 2 つの指数を掛け合わせると、その指数が加算され、2 つの指数を割ると、その指数が減算されます。いくつかの代数式では、指数の積や商を計算する必要があります。このとき、複雑な計算を行う必要はありません。掛け算のときは指数を足し、割り算のときは指数を引くだけです。これは表現を簡略化する場合にも当てはまります。
   • たとえば、6x ³ × 8x ⁴ + (x ¹⁷ /x ¹⁵ )。最初の部分と 2 番目の部分では、それぞれ指数の乗算と除算を計算する必要があり、指数を加算および減算するだけです。プロセスは次のとおりです。
     • 6x ³ × 8x ⁴ + (x ¹⁷ /x ¹⁵ )
     • (6 × 8)× ^{3 + 4} + (× ^{17 - 15} )
     • 48× ⁷ + ^2倍
   • このアプローチの説明は次のとおりです。
     • 指数の乗算は、指数以外の部分の長い一連の積を表します。たとえば、 x ³ = x × x × x なので、 x ⁵ = x × x × x × x × x であり、 x ³ × x ⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) となり、 x ⁸になります。
     • 同様に、指数の割り算は、指数以外の部分の長い列の商になります。 x ⁵ /x ³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x)。分子と分母は因数分解できるので、2つのxの積はx ²となる。
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ヒント

• 代数式を簡略化するのは簡単ではありませんが、一度習得すれば、一生その恩恵を受けることができます。
• 必要なときは他の人に助けを求めてください。
• すべての数字の前には正または負の符号が付いていることを常に覚えておけば、「どの符号を書けばよいのか」と悩む必要はありません。

警告する

• 存在しない乱数、指数、演算子を追加しないでください。
• 類似項を探し続けて、指数に惑わされないようにしてください。