等差数列の任意の項を見つける方法

等差数列とは、各項と前の項の差が定数に等しい数列です。例えば、偶数列${\displaystyle 0,2,4,6,8}$ …は等差数列です。数列内の数字と次の数字の差は常に 2 です。 ^[1] 質問内の数列が等差数列である場合、いくつかの既知の数の次の項を見つける必要があるかもしれません。質問では、等差数列の欠けている項を埋めるように求められることもあります。最後に、100 個の項すべてを書き出さずに、100 番目の項の値を見つける必要がある場合もあります。どのような種類の質問であっても、ほんの数ステップの簡単な手順で答えを導き出すことができます。

ステップ

等差数列の次の項を見つける

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f0\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-1-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-1-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/f\/f0\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-1-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-1-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1級数の公差を求めます。一連の数字に直面したとき、それが等差数列であることを問題が教えてくれる場合もあれば、自分でそれに気づかなければならない場合もあります。どちらの場合でも、最初のステップは同じです。いくつかの数字から最初の 2 つの項目を選択します。最初の項から2番目の項を引きます。結果はシーケンスの公差です。 ^[2]
   • 例えば、数字の集合があるとする${\displaystyle 1,4,7,10,13}$ ……。使用${\displaystyle 4-1}$許容値は 3 です。
   • 次のように、だんだん小さくなっていく数字の列があるとします。 ${\displaystyle 25,21,17,13}$ ……。もう一度、第 1 項から第 2 項を減算して、公差を見つけます。この場合、 ${\displaystyle 21-25=-4}$ 。負の結果は、左から右に読むにつれて数字のセットが小さくなっていることを示しています。問題を解くたびに、許容値の符号をチェックして、それが数字の傾向と一致しているかどうかを確認する必要があります。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c5\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-2-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-2-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/c\/c5\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-2-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-2-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2許容値が一貫しているかどうかを確認します。最初の 2 つの項の公差を計算するだけでは、数列が等差数列であることを保証できません。列全体で差異が一貫していることを確認する必要があります。 ^[3] 。シーケンス内の他の 2 つの連続する項を減算し、その差を確認します。結果が他の 1 つまたは 2 つの結果と一致する場合、それは等差数列である可能性が最も高くなります。
   • あるいはシリーズ形式で${\displaystyle 1,4,7,10,13}$ …例として、シーケンスの 2 番目と 3 番目の項を選択します。使用${\displaystyle 7-4}$ 、その差はまだ3です。安全のため、減算する 2 つの連続する項を選択してください。 ${\displaystyle 13-10}$差は 3 であり、これは以前の結果と一致しています。これで、それが等差数列であることはほぼ確実でしょう。
   • 場合によっては、数列の最初の数項は等差数列のように見えますが、等差数列の特性に従わなくなることがあります。例えば、シリーズ${\displaystyle 1,2,3,6,9}$ ……。最初の項と 2 番目の項の差は 1 であり、2 番目の項と 3 番目の項の差も 1 です。ただし、第 3 項と第 4 項の差は 3 です。数列内の項間の差は等しくないので、等差数列ではありません。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2d\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-3-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-3-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/2\/2d\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-3-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-3-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3許容値を使用して、最後の既知の用語を追加します。公差がわかれば、等差数列の次の項を見つけるのは非常に簡単です。最後の既知の項を公差に追加すると、次の数値が得られます。
   • 例えば、 ${\displaystyle 1,4,7,10,13}$ …、次の数字を見つけるには、最後の既知の項を公差 3 に追加します。 ${\displaystyle 13+3}$それは 16 に等しく、次の数字は 16 です。シリーズの最後に数字を書き出すまで、好きなだけ 3 を足し続けることができます。例えば、数列の末尾の数字を書き出すと、 ${\displaystyle 1,4,7,10,13,16,19,22,25}$ ……。満足するまで書き続けることができます。
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欠けている中間項を見つける

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/32\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-4.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/32\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-4.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1まず等差数列かどうかを確認します。場合によっては、問題には中間項が欠落した数値セットが与えられます。前と同様に、まずシーケンスが等差数列であるかどうかを確認する必要があります。連続する 2 つの数字を選択し、それらの差を計算します。結果を、シーケンス内の他の 2 つの連続する数値の差と比較します。差が等しい場合は、等差数列を扱っていると想定し、この記事の等差数列法に従って進めることができます。
   • 例えば、次のようなシーケンスがあるとします${\displaystyle 0,4}$ 、___、 ${\displaystyle 12,16,20}$ ……。初回使用${\displaystyle 4-0}$差は4です。 2つの連続した数値の差を比較します。 ${\displaystyle 16-12}$ 。差は依然として 4 のままです。したがって、これを等差数列として扱い、問題を解き続けることができます。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/cb\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-5.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/cb\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-5.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2許容値とスペースの前の項目を使用します。この方法は、シーケンスの最後の項目を見つける方法に似ています。シーケンス内の空白の前の項目を検索します。これは知られている「最後の」番号です。公差に項を加えて、空白を埋める数字を見つけます。 ^[4]
   • 現在の例では、 ${\displaystyle 0,4}$ 、____、 ${\displaystyle 12,16,20}$ …、スペースの前の数字は4であり、この数列の公差も4です。だから、 ${\displaystyle 4+4}$すると、8 となり、これが空欄の数字になります。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/74\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-6.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/7\/74\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-6.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3スペースの後の数字から許容値を減算します。答えが正しいかどうかを確認するには、反対方向から確認してください。正の順序でも負の順序でも、等差数列はそれ自身の特性に従う必要があります。左から右へ 4 項目ずつ追加する必要がある場合、逆に、右から左へのプロセスは正反対となり、4 項目ずつ減算する必要があります。
   • 現在の例では、 ${\displaystyle 0,4}$ 、___、 ${\displaystyle 12,16,20}$ …、スペースの後の数字は12です。この項から許容差を引くと、 ${\displaystyle 12-4=8}$ 。空欄に結果 8 を入力してください。
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8f\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-7.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8f\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-7.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4結果を比較します。左項に許容値を加算し、右項から許容値を減算して計算した 2 つの結果は等しくなるはずです。等しい場合は、不足している項目の値が見つかります。等しくない場合は、計算プロセスを確認する必要があることを意味します。質問内の数列は等差数列ではない可能性があります。
   • 現在の例では、 ${\displaystyle 4+4}$そして${\displaystyle 12-4}$結果は常に 8 になります。したがって、この等差数列の欠けている項は 8 です。完全なシーケンスは${\displaystyle 0,4,8,12,16,20}$ ……。
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等差数列のN番目の項を見つける

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f2\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-8.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f2\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-8.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1シーケンスの最初の項を決定します。すべてのシーケンスが数字 0 または数字 1 で始まるわけではありません。質問内のシーケンスを見て、最初の項を見つけます。これは計算の開始点であり、変数a(1)で表すことができます。
   • 等差数列を扱うとき、数列の最初の項を参照するために変数a(1)をよく使用します。もちろん、好きな変数を選択しても結果には影響しません。
   • 例えば、次のシーケンス${\displaystyle 3,8,13,18}$ ...、最初の項目は${\displaystyle 3}$これを(1)と呼ぶことにする。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f9\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-9.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f9\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-9.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2許容値を d とします。上記の方法を使用して、級数の公差を見つけます。この例では、許容値は次のようになります。 ${\displaystyle 8-3}$ 、5に等しい。これをシリーズ内の他の数値で確認すると、同じ結果が得られます。この許容範囲を参照するには変数 d を使用します。 ^[5]
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a1\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-10.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/a\/a1\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-10.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3明示的な数式を使用します。明示的な式は、等差数列全体を書き出さなくても等差数列内の任意の項を見つけることができる代数方程式です。等差数列の明示的な式は${\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}$ 。
   • 項 a(n) は「a の n 番目の項」と読みます。ここで、n は検索するシーケンス内の項の数、a(n) は項の実際の値です。たとえば、等差数列の 100 番目の項を求める問題の場合、n は 100 になります。この例では、n は 100 ですが、a(n) は 100 番目の項目の値であり、100 という数字そのものではないことに注意してください。
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b5\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-11.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-11.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/b\/b5\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-11.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-11.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4既知の情報を入力して問題を解決します。シーケンスの明示的な式を使用し、既知の情報を入力して、必要な項を解きます。
   • たとえばこの例では、 ${\displaystyle 3,8,13,18}$ …、a(1)が最初の項で3に等しく、公差dが5に等しいことがわかります。問題で数列の 100 番目の項を見つける必要があるとすると、n=100、(n-1)=99 になります。値を入力したら、明示的な式を完成させて${\displaystyle a(100)=3+(99)(5)}$ 。簡略化された結果は 498 であり、これは数列の 100 番目の項です。
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明示的な数式を使用して他の値を見つける

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f5\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-12.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-12.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/f\/f5\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-12.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-12.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1明示的な式を変換して他の変数を見つけます。明示的な式と基本的な代数を使用すると、等差数列の他のいくつかの値を見つけることができます。明示的な式の初期形は${\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}$目的は、数列の n 番目の項である_nを見つけることです。ただし、式を代数的に変換して他の変数を計算することもできます。
   • たとえば、数列の最後の数字がわかっていて、数列の最初の数字を計算するように求められたとします。この式を変形すると、 ${\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}$ 。
   • 等差数列の最初と最後の数はわかっているが、数列の項の数を調べる必要がある場合は、明示的な式を変更して n を調べることができます。式を変形すると、 ${\displaystyle n=\frac{a(n)-a(1)}{d}+1}$ 。
   • 式を変換するために基本的な代数を復習する必要がある場合は、このサイトの代数の学習や代数式の簡略化に関する記事を参照してください。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/96\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-13.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-13.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/9\/96\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-13.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-13.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2シーケンスの最初の項を見つけます。等差数列の 50 番目の項が 300 であり、各項が前の項より 7 大きい、つまり「公差」が 7 に等しい場合、数列の最初の項の値を求めます。修正された明示的な式を使用して a1 を計算し、問題の答えを取得します。
   • 方程式の使用${\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}$ 、そして既知の情報を代入します。 50番目の項は300であることがわかっているので、n=50、n-1=49、a(n)=300となります。質問では許容値 d の値も示されており、これは 7 に等しくなります。したがって、式は次のようになる。 ${\displaystyle a(1)=(49)(7)-300}$ 。得る${\displaystyle 343-300=43}$ 。数列の最初の項は 43 で、各項は前の項より 7 大きくなります。したがって、このシーケンスは 43、50、57、64、71、78…293、300 と表記できます。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f3\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-14.jpg\/v4-460px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-14.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/f\/f3\/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-14.jpg\/v4-728px-Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-14.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3シーケンス内の項の数を見つけます。等差数列の最初の項と最後の項だけがわかっていて、その数列内の項の数を見つける必要があるとします。修正された式を使用する${\displaystyle n=\frac{a(n)-a(1)}{d}+1}$ 。
   • 等差数列の最初の項が 100 であり、公差が 13 であることがわかっているとします。質問では、最後の項目が 2,856 であることもわかります。シーケンス内の項の数を計算するには、a1=100、d=13、a(n)=2856 という情報を使用できます。これらの値を式に代入すると、 ${\displaystyle n=\frac{2856-100}{13}+1}$ 。計算すると、 ${\displaystyle n=\frac{2756}{13}+1}$ 212+1 に等しく、213 になります。したがって、シーケンスには 213 個の項目があります。
   • このシーケンスは、100、113、126、139… 2843、2856 と表記できます。
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警告する

• 数列にはさまざまな種類があります。すべての数列が等差数列であると想定しないでください。ペアの許容範囲を比較するには、常に少なくとも 2 組の数字、できれば 3 組または 4 組の数字を同時にチェックしてください。

ヒント

• d は、加算するか減算するかに応じて、正または負になる可能性があることを覚えておいてください。