代数を使って2本の直線の交点を見つける方法

2次元図形で直線が交差する場合、交差するのは1点のみです。 ^[1] 座標のセット${\displaystyle x}$ -そして${\displaystyle y}$ -急行。両方の線がその点を通るので、 ${\displaystyle x}$ -そして${\displaystyle y}$ - 座標は両方の方程式を満たす必要があります。他のいくつかのトリックを使えば、この経路をたどって放物線と他の二次曲線の交点を見つけることができます。

ステップ

2本の直線の交点を見つける

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e9\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/e\/e9\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1各行の式を書きます。 $$ええ{\displaystyle y}方程式の左側。必要であれば、方程式を次のように変形してください。 ${\displaystyle y}$等号の左側にあります。式が${\displaystyle f(x)}$または${\displaystyle g(x)}$ 、 の代わりに${\displaystyle y}$ 、この項目を分離します。覚えておいてください、方程式の両辺で同じ演算を実行すると、これらの項を消去できます。
   • この方程式の解き方が分からない場合は、持っている情報に基づいて直線の方程式を見つけてください。
   • たとえば、次の 2 行は次のようになります。 ${\displaystyle y=x+3}$そして${\displaystyle y-12=-2x}$ 。 2番目の方程式を変形すると${\displaystyle y}$それを分離し、各辺に 12 を加えます。 ${\displaystyle y=12-2x}$
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f0\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/f\/f0\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 2 つの方程式の右辺を等しくします。 2本の線が同じになる点を探します${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$値。この点は 2 本の線が交差する場所です。どちらの方程式も${\displaystyle y}$したがって、2 つの方程式の右辺は等しいことがわかります。それを表す新しい方程式を書きなさい。
   • 例:既知${\displaystyle y=x+3}$ 、 ${\displaystyle y=12-2x}$ 、それで${\displaystyle x+3=12-2x}$ 。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/ff\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/f\/ff\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 xを見つけます。新しい方程式には変数が1つだけあります。 ${\displaystyle x}$ 。この問題を代数的に解くには、両辺で同じ演算を実行します。バンドル${\displaystyle x}$項を方程式の片側に移動し、次のように書きます。 ${\displaystyle x=??}$形状。 (そうでない場合は、このセクションの最後の手順に進んでください。)
   • 例えば： ${\displaystyle x+3=12-2x}$
   • 両側に追加${\displaystyle 2x}$ :
   • ${\displaystyle 3x+3=12}$
   • 各辺から 3 を引きます。
   • ${\displaystyle 3x=9}$
   • 両辺を3で割ります。
   • ${\displaystyle x=3}$
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/83\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-4-Version-3.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-4-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/8\/83\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-4-Version-3.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-4-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4これを使用する$$x {\displaystyle x} -解決すべき価値$$ええ{\displaystyle y} 。直線の方程式を選択します。見つけた x 値をすべての方程式に代入します。 ${\displaystyle x}$ 。方程式を計算して${\displaystyle y}$ 。
   • 例えば： ${\displaystyle x=3}$ 、 ${\displaystyle y=x+3}$
   • ${\displaystyle y=3+3}$
   • ${\displaystyle y=6}$
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/e7\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-5-Version-2.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-5-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/e\/e7\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-5-Version-2.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-5-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5計算結果を確認します。意思${\displaystyle x}$ - 値を別の方程式に代入して、同じ結果が得られるかどうかを確認することをお勧めします。もし違うものを手に入れたら${\displaystyle y}$値、戻って計算プロセスを確認し、計算エラーがないか確認してください。
   • 例えば： ${\displaystyle x=3}$ 、 ${\displaystyle y=12-2x}$
   • ${\displaystyle y=12-2(3)}$
   • ${\displaystyle y=12-6}$
   • ${\displaystyle y=6}$
   • 2 つの計算の結果は一致しています。エラーはありません。
6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5c\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/5\/5c\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6交差点を書き込む$$x {\displaystyle x}そして$$ええ{\displaystyle y}座標。これで、2 本の線の交点が見つかりました。 ${\displaystyle x}$ -値と${\displaystyle y}$ -価値。この交点を座標系で書き表すと、 ${\displaystyle x}$最初の値として -value を使用します。
   • 例えば： ${\displaystyle x=3}$ 、 ${\displaystyle y=6}$
   • 2本の線は（3,6）で交差する。
7. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/19\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/1\/19\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7異常な結果を処理します。いくつかの方程式は解くことができない${\displaystyle x}$の。これは必ずしもあなたの間違いではありません。 2 本の直線が特別な結果をもたらす方法は 2 つあります。
   • 2 本の線が平行である場合、それらは交差しません。 ${\displaystyle x}$項は打ち消され、方程式は誤ったステートメントに簡略化されます (例: ${\displaystyle 0=1}$ ）。答えとして「 2 本の線は交差しません」または「実際の解はありません」と書くこともできます。
   • 2 つの方程式が同じ線を表す場合、線上のすべての点は「交差」します。 ${\displaystyle x}$項は打ち消され、方程式は正しいステートメントに簡略化されます (例: ${\displaystyle 3=3}$ ）。答えとして「この 2 行は同じです」と書くことができます。
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二次方程式の問題

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/1b\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/1\/1b\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1二次方程式を識別します。二次方程式では、1つ以上の変数が2以上の次数を持ちます（ ${\displaystyle x^2}$または${\displaystyle y^2}$ ）、それ以上の順序はありません。これらの方程式は曲線を表すため、直線と交差する点の数は 0、1、または 2 になります。このセクションでは、0、1、または 2 の交点を見つける方法を説明します。
   • 括弧を使用して方程式を展開し、それが二次方程式であるかどうかを確認します。例えば、 ${\displaystyle y=(x+3)(x)}$は二次方程式である。 ${\displaystyle y=x^2+3x}$
   • 円や楕円の方程式は${\displaystyle x^2}$そして${\displaystyle y^2}$アイテム。 ^{[2] [3]} これらの特殊なケースの処理で問題が発生する場合は、以下の「ヒント」セクションを参照してください。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/9c\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-9-Version-2.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-9-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/9\/9c\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-9-Version-2.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-9-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2方程式をy形式で書きます。必要に応じて、各方程式を書き直して、y が方程式の片側だけに来るようにします。
   • 例えば:検索${\displaystyle x^2+2x-y=-1}$そして${\displaystyle y=x+7}$の交差点。
   • 二次方程式をyについて表すと次のようになります。
   • ${\displaystyle y=x^2+2x+1}$そして${\displaystyle y=x+7}$ 。
   • この例では、二次方程式と一次方程式があります。 2 つの二次方程式の問題も同様の方法で解くことができます。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f0\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/f\/f0\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 2 つの方程式を組み合わせて y を消去します。両方の方程式の左辺が y の場合、2 つの方程式の右辺が等しいことがわかります。
   • 例えば： ${\displaystyle y=x^2+2x+1}$ 、 ${\displaystyle y=x+7}$
   • ${\displaystyle x^2+2x+1=x+7}$
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3a\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-11-Version-2.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-11-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/3\/3a\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-11-Version-2.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-11-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4新しい方程式を、一方の辺が 0 になるように配置します。標準的な代数的手法を使用して、すべての項を脇に移動します。これにより問題は解決し、次のステップで修正できます。
   • 例えば： ${\displaystyle x^2+2x+1=x+7}$
   • 両辺からxを引きます。
   • ${\displaystyle x^2+x+1=7}$
   • 両辺から 7 を引きます。
   • ${\displaystyle x^2+x-6=0}$
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a1\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-12-Version-2.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-12-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/a\/a1\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-12-Version-2.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-12-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5二次方程式を解きます。方程式の片側を 0 に等しくする場合、二次方程式を解く方法は 3 つあります。人によって、より簡単だと感じる方法は異なります。二次方程式について読んだり、「二次方程式の公式を教えてください」と尋ねたり、因数分解の次の例に従ったりすることができます。
   • 例えば： ${\displaystyle x^2+x-6=0}$
   • 因数分解の目的は、方程式を得るために掛け合わせる 2 つの因数を見つけることです。最初の学期から、 ${\displaystyle x^2}$ x を x 倍に分割します。これを (x )(x ) = 0 と書きます。
   • 最後の項目は -6 です。掛け合わせると -6 になる因数のペアをすべてリストします。 ${\displaystyle -6\ast 1}$ 、 ${\displaystyle -3\ast 2}$ 、 ${\displaystyle -2\ast 3}$そして${\displaystyle -1\ast 6}$ 。
   • 中間の項は x です (1x と書くこともできます)。 1 になるまで各因数のペアを加算します。正しい因数ペアは${\displaystyle -2\ast 3}$ 、なぜなら${\displaystyle -2+3=1}$ 。
   • 次の 2 つの要因を空欄に記入してください。 ${\displaystyle (x-2)(x+3)=0}$ 。
6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/6e\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-13-Version-2.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-13-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/6\/6e\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-13-Version-2.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-13-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6x の 2 つの解に注目してください。あまりに速く計算すると、2 番目の解があることに気付かずに 1 つの解を見つけてしまう可能性があります。 2 本の線が交差する 2 つの点における 2 つの x 値を見つける方法は次のとおりです。
   • 例えば（因数分解）：次の式を得る。 ${\displaystyle (x-2)(x+3)=0}$ 。括弧内の係数のいずれかが 0 の場合、方程式は真となります。解決策は${\displaystyle x-2=0}$ → ${\displaystyle x=2}$ 。もう一つの解決策は${\displaystyle x+3=0}$ → ${\displaystyle x=-3}$ 。
   • たとえば（二次方程式または平方完成）：これらの方法を使用して方程式を解くと、平方根が表示されます。例えば、この式は${\displaystyle x=(-1+\sqrt{25})/2}$ 。平方根は 2 つの異なる解に簡略化できることを覚えておいてください。 ${\displaystyle \sqrt{25}=5\ast 5}$ 、同様に${\displaystyle \sqrt{25}=(-5)\ast (-5)}$ 。それぞれの可能性について 1 つずつ方程式を 2 つ書き、それぞれを x について解きます。
7. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/fb\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-14-Version-2.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-14-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/f\/fb\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-14-Version-2.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-14-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7 1 つまたは 0 つのソリューションを見つけます。ほとんど交差しない 2 本の線には交点が 1 つだけありますが、まったく交差しない 2 本の線には交点がありません。これらの解決策を見つける方法は次のとおりです。
   • 1 つの解決策: 方程式は 2 つの同一の因数に分解されます ((x-1)(x-1) = 0)。二次方程式に代入すると、平方根項は${\displaystyle \sqrt{0}}$ 。 1つの方程式を解くだけで済みます。
   • 実際の解決策はありません。満足できる因数 (中間項の合計) はありません。二次方程式に代入すると、平方根の下の負の数が得られます (例: ${\displaystyle \sqrt{-2}}$ ）。答えは「本当の解決策はない」です。
8. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/ce\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-15-Version-2.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-15-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/c\/ce\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-15-Version-2.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-15-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 8 x の値を元の式に戻します。交点の x 値がわかったら、それを最初の方程式に代入します。 y を解いて y の値を見つけます。 2 番目の x 値がある場合は、この操作を繰り返します。
   • 例えば、 2つの解決策が見つかります。 ${\displaystyle x=2}$ 、 ${\displaystyle x=-3}$ 。直線の1つの方程式は${\displaystyle y=x+7}$ 。代入x: ${\displaystyle y=2+7}$ 、 ${\displaystyle y=-3+7}$それぞれの方程式を解いて${\displaystyle y=9}$ 、 ${\displaystyle y=4}$ 。
9. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2c\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-16-Version-2.jpg\/v4-460px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-16-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/2\/2c\/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-16-Version-2.jpg\/v4-728px-Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines-Step-16-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 9交差点の座標を記入します。次に、交点の x 値と y 値を使用して、答えを座標形式で記述します。答えが 2 つある場合は、x 値と y 値が正しいことを確認してください。
   • 例えば、 ${\displaystyle x=2}$ 、私たちは得ることができます${\displaystyle y=9}$なので、交点の1つは(2, 9)です。同じ方法を使用して 2 番目の解を見つけると、別の交点(-3, 4)が得られます。
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ヒント

• 円や楕円の方程式は${\displaystyle x^2}$アイテムと${\displaystyle y^2}$アイテム。円と直線の交点を見つけるには、x について線形方程式を解く必要があります。 ^[4] x の解を円方程式に代入すると、より単純な二次方程式が得られます。この方程式には、上記の方法で説明したように、0、1、または 2 つの解が存在する可能性があります。
• 円と放物線 (またはその他の二次形式) には、0、1、2、3、または 4 つの解があります。両方の方程式の二乗された変数を見つけます。たとえば、 x ²とします。探す${\displaystyle x^2}$それを別の方程式に代入すると${\displaystyle x^2}$ 。 y を解いて、0、1、または 2 個の解を取得します。各解を元の二次方程式に代入し、x について解くと、各方程式には 0、1、または 2 個の解が存在する可能性があります。