3次行列の逆行列を求める

難しい代数問題に苦労していませんか?行列の逆行列を見つけることが線形方程式を解く鍵となります。さらに、逆演算は難しい問題を便利に単純化できる場合がよくあります。たとえば、分数で割る必要がある問題の場合、考え方を変えて分数の逆数を掛ける方が簡単になります。そしてこれは基本的な逆操作です!繰り返しますが、行列には割り算がないので、逆数を掛ける必要があります。この目的のために、この投稿では、行列式と線形行の簡略化を介して 3x3 逆行列を手動で計算するためのステップバイステップガイドをまとめました。次に、高度なグラフ電卓を使用して行列を反転する方法も教えます。

方法1方法1/3:

逆行列を作成するための随伴行列を作成する

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/97\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-1-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-1-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/9\/97\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-1-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-1-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1行列の行列式を確認します。最初のステップとして、行列の行列式を計算する必要があります。行列式が 0 の場合、この行列には逆演算がないので、ここで停止できます。行列Mの行列式の記号表現はdet(M)です。 ^{[1] X研究ソース}
- 3x3行列の場合、まず行列式を求める。
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- 転置を考える別の方法は、最初の行を最初の列に、真ん中の行を真ん中の列に、3 番目の行を 3 番目の列に書き直すことです。上の画像の色付きの要素に注目して、数字の位置が変わった場所を確認してください。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ea\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-3-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-3-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/e\/ea\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-3-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-3-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3それぞれの小さな 2x2 行列の行列式を求めます。新しく転置された 3x3 行列の各エントリは、対応する 2x2 の「セカンダリ」行列に関連付けられます。各用語の正しい二次マトリックスを見つけるには、まず、開始する用語の行と列を見つけます。これにはマトリックスに 5 つのエントリが含まれる必要があります。残りの 4 つの項目は小さなマトリックスを形成します。 ^{[3] X研究ソース}
- 上記の例では、2 行目と 1 列目の二次行列を検索する場合、2 行目と 1 列目の 5 つのエントリを検索する必要があります。残りの 4 つの項目は、対応する小さな行列です。
- 図に示すように、各小行列の行列式は、クロス乗算と対角要素の簡略化によって求められます。
- 小さなマトリックスとその使用法の詳細については、他の関連記事をお読みください。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a2\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-4-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-4-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/a\/a2\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-4-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-4-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4補因子行列を作成します。前のステップの結果を新しい補因子行列に代入し、各小さな行列の行列式を元の行列の対応する位置に合わせます。この方法では、元の行列のエントリ (1,1) から計算した行列式が位置 (1,1) に配置されます。次に、示されている「チェス盤」パターンに従って、この新しい行列の交互のエントリの符号を反転する必要があります。 ^{[4] X研究ソース}
- 符号を割り当てる場合、最初の行の最初の要素は元の符号を保持します。 2 番目の要素は反対の符号を持ちます。 3 番目の要素は元の符号を保持します。マトリックスの残りの部分についてもこの方法を続けます。ボード上の (+) または (-) の記号は、最後の項が正または負であることを意味するものではないことに注意してください。これらは単に、任意の数値の元の符号を維持する (+) か、反転する (-) ことを意味します。
- このステップの最終結果は、元の行列の随伴行列と呼ばれます。隣接行列と呼ばれることもあります。随伴行列はAdj(M)と表記されます。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7b\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-5-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-5-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/7\/7b\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-5-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-5-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5随伴行列の各要素を行列式で割ります。手順 1 で計算した行列式 M を思い出してください (逆が可能かどうか確認するため)。ここで、行列の各エントリをこの値で割る必要があります。各計算の結果を元の項目の場所に置きます。結果は元の行列の逆行列になります。 ^{[5] X研究ソース}
- 図に示す行列の場合、行列式は 1 です。したがって、随伴行列の各項で割ると、随伴行列自体が生成されます。しかし、いつもそう幸運なわけではないかもしれません。
- いくつかの情報源では、このステップを除算として扱わず、M の各項に 1/det(M) を掛けます。数学的には、これらの計算は同じです。
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方法2方法2/3:

線形行簡略化を使用した行列の反転

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/74\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-6-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-6-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/7\/74\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-6-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-6-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1単位行列を元の行列と連結します。元の行列 M を書き出し、その右側に垂直線を引き、その右側に単位行列を書き出します。これで、3 行 6 列のマトリックスが作成されます。 ^{[6] X研究ソース}
- 要約すると、単位行列は、左上から右下までの主対角線に沿ったすべての位置が 1 で、その他のすべての位置が 0 である特殊な行列です。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/aa\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/a\/aa\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2線形行の簡略化を実行します。目標は、この新しい拡張行列の左側に単位行列を作成することです。左側で簡略化の手順を実行するときは、右側でも同じ操作を続行する必要があります。これは、右側が単位行列から始まるためです。
- 行の簡略化は、行列の項を分離するために、スカラー乗算と行の簡略化の組み合わせとして実行されることに注意してください。
3最終的に単位行列が形成されるまで続けます。スカラー乗算の左側に単位行列 (対角線上に 1、その他は 0) が表示されるまで、線形行簡略化操作を繰り返します。ここまで来ると、垂直分割線の右側は元の行列の逆行列になります。 ^{[7] XResearchソース}
4逆行列を書きます。垂直の区切り線の右側に表示されている要素を逆行列にコピーします。広告する

方法3方法3/3:

計算機を使って逆行列を求める

行列関数を備えた計算機を選択します。単純な 4 関数電卓では、行列を直接逆行列化することはできません。ただし、計算は反復的な性質を持つため、Texas Instruments TI-83 や TI-86 などの高度なグラフ電卓を使用すると、計算回数を大幅に削減できます。 ^{[8] XResearchソース}
2行列を計算機に入力します。まず、電卓に行列キーがある場合は、それを押すと電卓の行列機能にアクセスできます。 Texas Instruments の計算機では、2 番目のマトリックスキーを押す必要がある場合があります。
3「編集」サブメニューを選択します。このサブメニューを見つけるには、電卓のレイアウトに応じて、矢印ボタンを使用するか、電卓のキーパッドの上部にある適切なファンクションキーを選択する必要がある場合があります。 ^{[9] X研究ソース}
4マトリックスの名前を選択します。ほとんどの計算機は、A から J までのラベルが付いた 3 個から 10 個の行列を処理できます。通常は[A]を選択するだけです。選択後、Enterキーを押します。 ^{[10] X研究ソース}
5行列の次元を入力します。この記事では主に 3x3 行列について説明します。ただし、計算機ははるかに大きなサイズの行列を処理できます。行数を入力して Enter キーを押し、次に列数を入力して Enter キーを押します。 ^{[11] X研究ソース}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2a\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-15.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-15.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2a\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-15.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-15.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6入力行列の各要素。計算機画面に行列が表示されます。以前にマトリックス機能を使用していた場合は、以前のマトリックスが画面に表示されます。カーソルは行列の最初の要素を強調表示します。解きたい行列の値を入力し、Enter キーを押します。カーソルは自動的に行列の次の要素に移動し、前の数字を上書きします。 ^{[12] XResearchソース}
- 負の数を入力する場合は、マイナスキーの代わりに電卓のマイナスボタン (-) を使用します。そうしないと、行列関数は数値を正しく読み取れません。
- 必要に応じて、計算機の矢印キーを使用してマトリックス内を移動できます。
7マトリックス関数を終了します。マトリックスのすべての値を入力したら、Escape キーを押します（必要に応じて 2 回目の Escape キーを押します）。これにより、マトリックス機能が終了し、電卓のホーム画面に戻ります。 ^{[13] X研究ソース}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/fd\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-17.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-17.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/fd\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-17.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-17.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 8逆行列を求めるには、inverse キーを使用します。まず、マトリックス機能を再度オンにして、名前ボタンを使用して、マトリックスを定義するために使用したマトリックスラベル (おそらく [A]) を選択します。次に、電卓の逆方向キーを押します。 $x^{-1}$ 。電卓によっては、この手順で 2 番目のボタンを使用する必要がある場合があります。すると画面に $A^{-1}$ 。 Enter キーを押すと、逆行列が画面に表示されます。 ^{[14] XResearchソース}
- 電卓の ^ キーを使用して、A^-1 を別のキーボード入力として入力しないでください。計算機はこの演算を理解しません。
- 逆行列キーを押したときにエラーメッセージが表示される場合は、元の行列に逆行列がない可能性が高いことを意味します。答えを見つけるには行列式を計算する必要があるかもしれません。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/cf\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-18-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-18-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/c\/cf\/Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-18-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Inverse-of-a-3x3-Matrix-Step-18-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 9逆行列を正確な答えに変換します。計算機が最初に表示する計算結果は小数になります。ほとんどの場合、これは「不正確」であると見なされます。必要に応じて、小数の回答を分数形式に変換する必要があります。 (運が良ければ、結果はすべて整数になりますが、これはまれです。) ^{[15] X研究ソース}
- おそらく、電卓には小数を分数に自動的に変換する機能があるでしょう。たとえば、TI-86 を使用する場合は、「Math Functions」→「Misc」→「Frac」→「Enter」の順に進みます。小数は自動的に分数として表示されます。おそらく、電卓には小数を分数に自動的に変換する機能があるでしょう。たとえば、TI-86 では、「Math Functions」に移動し、「Misc」を選択してから「Frac」を選択し、Enter キーを押します。このとき、小数は自動的に分数に変換されます。
10ほとんどのグラフ電卓には、行列関数を使用せずに行列を入力できる括弧キー (TI-84 では 2+x と 2+-) もあります。注: Enter/等号キーを使用するまで、計算機は行列をフォーマットしません (つまり、すべてが 1 行に表示されるため、見た目があまり良くありません)。広告する

ヒント

以下の手順に従って、数値だけでなく、変数、未知数、さらには代数式も含む行列の逆行列を見つけることができます。
3x3 行列を頭の中で反転するのは非常に難しいため、すべての手順を書き留めてください。
逆行列を見つけることができるコンピュータプログラムがあります^{。[16] X研究ソース}最大行列サイズは 30x30 になります。
どちらの方法を選択した場合でも、 M に M ^{- 1 を}掛けることで結果が正しいことを確認できます。 M*M ^-1 = M ^-1 *M = I であることが確認できるはずです。ここで、I は単位行列であり、主対角線上に 1 が、その他のすべての場所に 0 が含まれます。そうでない場合は、どこかで間違いを犯しています。

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