手で平方根を計算する方法

平方根を手作業で計算する方法はたくさんあります。他の方法では推定値しか得られませんが、ここで紹介する方法では簡単な操作で平方根の値を1桁ずつ計算できます。

方法1方法1/2:

手作業による平方根計算

1平方根を計算したい数値を入力します。小数点から始めて、数字をペアに分けます。79,520,789,182.47897 は「7 95 20 78 91 82. 47 89 70」になります。この例では、780.14 の平方根を計算するには、まず図に示すように 2 本の線を描き、次に左側に「7 80. 14」と書きます。すると、右上に 780.14 の平方根が表示されます。
2左端の数字のペアを見て、n の 2 乗がこの数字のペア以下になる最大の整数 n を見つけます。この場合、数字のペアは 7、2×2 ≤ 7 < 3×3 なので、n = 2 になります。右上隅に 2 と書きます。これが平方根の最初の数字です。次のステップで使用するため、2×2=4 を以下に書き留めます。
3左端の数値ペアから積を減算します。ここでは 7 から 4 を引くと 3 になります。
4左から 2 番目の数字のペアを書き留めます。右上の数字を2倍にして右下に書き、「_×_=」を足します。たとえば、次の数字のペアは「80」です。3 の横に「80」と書き、2 に 2 を掛けて 4 にします。下に「4_×_=」と書きます。
5右下の水平線に置かれた数字の積が左側の数字以下になる最大の数字を見つけます。この例では、8 を使用すると 384 となり、これは 380 より大きいため、8 は大きすぎます。でも7でも大丈夫です。 7 を上に書き足して 329 になり、右上隅に 7 を書きます。7 は 780.14 の平方根の 2 番目の数字です。
6左側の上部と下部を減算します。この例では、380-329=51 となります。
7手順 4 を繰り返します。ここでは小数を扱うので、小数点は右上隅に書きます。この数字のペア「14」を書き留めてください。27を掛けると54になるので、下に「54_×_=」と記入してください。
8手順 5 と 6 を繰り返します。水平線上に置かれた数字の掛け算の積が左側の数字 (5114) 以下になる最大の数字を見つけます。ここでは 9 になります。右上隅に 9 と書きます。次に、その積を 5114 から引きます: 173。
9計算を続けるには、173 の右側に 2 つのゼロを置き、手順 4、5、6 を続行します。広告する

方法2方法2/2:

上記の手順の原理の説明

1上記の方法の原理を理解するために、平方根を計算したい数値 S が正方形の面積であると仮定します。したがって、正方形の辺の長さ L、L² = S を計算する必要があります。
2 A が L (平方根) の最初の桁、B が 2 番目の桁、C が 3 番目の桁、などであると仮定します。
3 Sa が S の最初の数字のペア、Sb が 2 番目の数字のペア、というように仮定します。
4除算と同様に、一度に 1 つの桁のみに注目します。ここでは平方根を計算するため、2 つの桁のみを考慮します (計算結果は平方根数値のすべての桁になります)。また、除算の場合と同様に、小数点の位置は重要ではありません。後で小数点を戻すことができます。
5対数Sa（この例ではSa=7）を見て、その平方根を求めます。最初の数字 A は、その平方が Sa を超えない最大の数です (つまり、A² ≤ Sa < (A+1)²)。この例では、S1 = 7、2² ≤ 7 < 3² なので、A = 2 となります。
6 88962 を 7 で割る場合も、手順は非常に似ています。まず、88962 の最初の桁 (8) を見て、8 以下の 7 の倍数が必要です。これは、7×d ≤ 8 < 7×(d+1) となる d が存在することを意味します。 dは1に等しい
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/64\/Calculate-a-Square-Root-by-Hand-Step-16-Version-2.jpg\/v4-460px-Calculate-a-Square-Root-by-Hand-Step-16-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/6\/64\/Calculate-a-Square-Root-by-Hand-Step-16-Version-2.jpg\/v4-728px-Calculate-a-Square-Root-by-Hand-Step-16-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7次の桁 B を計算します。
- ここで、 (10A+B)² = 100A² + 2×10A×B + B²とします。（10A+Bは、Bを一の位、Aを十の位とする数であることを覚えておいてください：A=1、B=2、10A+Bは（12）です。 （10A+B）²は正方形全体の面積です。100A²は内部の最大の正方形の面積、 B²は小さい正方形の面積、 10A×Bは各長方形の面積です。
8ステップ 3 では、Sa から A² を減算する必要があります。前の係数は 100 なので、S に数字のペア (Sb) を書き込む必要があります。ここでの合計面積は「Sa Sb」である必要があり、100A² (大きな正方形の面積) を減算しました。ここで、ステップ4で得られたN1（この場合は380）が残りの部分の面積となります。 N1は2×10A×B + B²（2つの長方形の面積と小さな正方形の面積の合計）に等しくなります。
9ここで、N1 = 2×10A×B + B² の値を見てみましょう。 N1 = (2×10A + B) × B と表記することもできます。これでN1(=380)とA(=2)が分かり、Bを見つける必要があります。 B は整数ではない可能性が高いため、条件 (2×10A + B) × B ≤ N1 を満たす最大の B を見つける必要があります (B+1 は範囲を超えるため、N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1) も成り立ちます)。
10ここで、A に 2 を掛けて 10 の位に変更し (つまり、10 を掛けます)、B を 1 の位に置き、上記の合計に B を掛けます。 (2×10A + B) × B が得られ、これはステップ 4 の「N_×_=」(N=2×A) と同じです。ステップ5では、(2×10A + B) × B ≤ N1を満たす最大の整数Bを見つけることができます。
合計面積（ステップ6の左側）から（2×10A + B）× Bを減算して面積S-（10A+B）²を求めます。これはまだ計算していません（次の手順では、これを使用して次の数字Cを同様の方法で計算します）。
12Cを計算するには、手順を繰り返します。S から Sc の数字のペアを書き出し、(2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 を満たす最大の整数を確認します (2 桁の数字「AB」に続けて「_×_=」を書き、水平線上に書き込むことができ、条件を満たす最大の数字を見つけるのと同じです)。広告する

ヒント

小数点を 2 桁右 (百の位の場合) と 1 桁右 (十の位の場合) に移動します。
この例では、1.73が余りとして考えられます: 780.14 = 27.9² + 1.73
この方法は、10 桁だけでなく、任意の桁数に適用できます。
計算過程は任意に記述できます。平方根を計算したい数値の上に結果の数値を書き込むことを好む人もいます。
連分数を使用して解く別の方法があります。こちらを参照してください。

√z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...)))。

たとえば、780.14 の平方根を計算する場合、2 乗すると 780.14 に最も近い数は 28 なので、z=780.14、x=28、y=-3.86 となります。これを代入すると、x + y/(2x)の推定値（最も単純な項）は78207/2800となり、約27.931(1)となる。次の項を計算すると4374188/156607となり、約27.930986(5)となる。各項は、小数点以下 3 桁まで前の項より大きくなります。

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