三項式の因数分解方法

代数学において、三項式は 3 つの項からなる多項式です。最も一般的な形式は、二次三項式 (ax ² +bx+c) です。しかし、すべての三項式が二次式であるわけではありません。さらに高い数値を持つものもあります。多項式は数学や科学で非常に役立ちます。多項式を因数分解する方法を学ぶと、多くの分野で役立ちます。三項式を因数分解する方法に関するヒントをいくつか紹介します。因数分解できる特殊な三項式は多数ありますが、因数分解できない三項式に遭遇した場合は、通常の方法を使用して高次の三項式を因数分解する方法を学ぶ必要があります。

ステップ

1 3 つの項の共通因数を取ります。 3 つの係数のいずれかに同じ因数がある場合は、それを示します。または、共通の変数がある場合は、それも取り上げます。広告する

方法1 方法1/5:

二次三項式

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a5\/Factor-Trinomials-Step-2.jpg\/v4-460px-Factor-Trinomials-Step-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a5\/Factor-Trinomials-Step-2.jpg\/v4-728px-Factor-Trinomials-Step-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":306,"bigWidth":728,"bigHeight":484,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1三項式のパラメータを最大累乗から最小累乗の順に並べます。パラメータは多項式の変数であり、通常の順序は最大次数から最小次数です。したがって、5 + x ² + 6xはx ² + 6x + 5に並べ替える必要があります。
- したがって、三項式 3x ² + 18x + 15 の各項は 3 の倍数であり、3 を取り出すと 3(x ² + 6x + 5) になります。
- ^-x2 - 2x - 1 の各項には -1 が含まれており、これを取り出すと (-1)( ^x2 + 2x + 1) になります。より一般的には -( ^x2 + 2x + 1) になります。
- 三項式 3x ² y + 3xy - 60y は各項に 3y が含まれるため、3y(x ² + x - 20) に変換できます。
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- したがって、 x ² + 6x + 5 の場合、 x 掛ける x は x ²なので、すべての二項因数の最初の項は x です。 5 掛ける 1 は 5 なので、因数は 5 と 1 になります。因数分解された二項式は (x + 5)(x + 1) になります。最初の因数 x に次の因数 1 を掛けて x を取得し、次の因数 x に最初の因数 5 を掛けて 5x を取得します。これらを加算すると 6x が得られ、これが三項式の中間項になります。
- 定数項に複数の異なる因数がある場合は、正しい二項因数を見つけるためにそれぞれを解く必要があります。たとえば、x ² + x - 20 では、a=1 なので、各二項式の最初の項は x になります。しかし、c の絶対値 20 は、20 倍の 1、10 倍の 2、5 倍の 4 に分解できます。 b の値を見てください。b = 1 なので、すべての二項式の 2 番目の項を合計すると 1 になるはずです。また、c は負の数 (20) なので、2 番目の項の 1 つは負でなければなりません。 5 - 4 (または 5 + - 4) は 1 なので、正解は (x + 5)(x - 4) です。
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方法2方法2/5:

特殊なケースの正しい二項因数分解

1三項式の最初の項または 3 番目の項が素数かどうかを確認します。素数とは、その数自身または 1 でしか割り切れない数であり、因数が非常に少ない数です。この例では、x ² + 6x + 5 であり、5 は素数なので、解のペアは 1 つだけです。 (x + 5)(x + 1)
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/cd\/Factor-Trinomials-Step-5.jpg\/v4-460px-Factor-Trinomials-Step-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/cd\/Factor-Trinomials-Step-5.jpg\/v4-728px-Factor-Trinomials-Step-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":306,"bigWidth":728,"bigHeight":484,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2三項式が完全な平方数であるかどうかを確認します。完全な平方の公式は、項をそれ自身で乗算することによって得られる公式です。たとえば、1 * 1 = 1、2 * 2 = 4、3 * 3 = 9 などです。 ^ax2 + bx + c が完全な平方数である場合、a と c は完全な平方数でなければならず、b は a と c の根の和の 2 倍でなければなりません。
- 三項式 x ² + 6x + 9 は完全な平方数、つまり (x + 3)(x + 3) です。 a は 1、1 の 2 乗です。 cは9で、3の2乗です。bは6で、aとcの平方根の合計の2倍で、2(1 * 3)です。
- 三項式 4x ² + 12x + 9 は (2x + 3)(2x + 3) に因数分解でき、これも完全な平方数です。 a は 4、つまり 2 の 2 乗、c は 9、つまり 3 の 2 乗、b は 12、つまり a と c の平方根の合計の 2 倍、つまり 2(2 * 3) です。
- 完全な平方数の場合、この三項式の a と c は正の数でなければならないことに注意してください。すべて負の数の場合は、-1 を加算し、a、b、c の符号を変更して再度計算します。
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- たとえば、4 x ² - 9 は (2x + 3)(2x - 3) に因数分解できます。 2 は 4 の平方根であり、3 は 9 の平方根だからです。正の数に負の数を掛けると負の数になるので、1 は正の数で、1 は負の数です。これにより、4x ² + 6x - 6x - 9、またはもっと簡単に言えば、4x ² - 9 が得られます。
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方法3 方法3/5:

隠れた変数を持つ二次方程式

いくつかの三項式は高次のように見えますが、実際には二次式です。調べた後、次の方法で解決できます。

1各変数を確認します。たとえば、x ⁶ - 7x ³ + 12 は 6 回あるように見えますが、置換法 u=x ³を使用すると、u ² - 7u + 12 になります。これは多変数多項式にも適用できます。たとえば、x ⁵ y - 7x ³ y ² + 12y ³は xy ³ (u ² - 7u + 12) となり、ここで使用される置換は u = x ² /y です。この置換は、2 番目の項の次数が 1 番目の項の半分である場合にいつでも機能します。
2置換法を使用できる場合は、置換後のより単純な多項式を因数分解します。ここでは、u ² - 7u + 12 = になります。 (u-3)(u-4)
^x ³ ^- ⁷ 4) 可能または必要な場合は、ファクタリングを続行します。広告する

方法4方法4/5:

アイゼンシュタイン基準

この規則は任意の数の項を持つ多項式で機能しますが、係数の多くがゼロであるため、三項式で特に役立ちます。この方法は因数分解には使用されませんが、因数分解できるかどうかを判断することができます。

1すべての第 2 項と定数項の素因数 p を見つけます。
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- 定数項はpの倍数でなければならないが、 ^p2の倍数ではない。
- 最初の項はpの倍数であってはならない
3最初の項を除くすべての係数を割り切り、定数項を 1 回だけ割り切る p が存在する場合、多項式を因数分解することはできません。この方法を使用すると、14x ⁹ + 45x ⁴ + 51 は因数分解できないことがすぐにわかります。これは、45 と 51 は 3 を割り切れますが、14 は割り切れず、9 は 51 を割り切れないからです。