三次方程式を解く方法

三次方程式の最高次数は3であり、3つの解、つまり3つの根を持ち、方程式自体は次の形式になります。 ${\displaystyle a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0}$ 。三次方程式は難しそうに見え、実際に解くのが難しいですが、十分な基礎知識と適切なアプローチがあれば、最も難しい三次方程式の問題でも解くことができます。 3 次方程式を解く方法はたくさんあります。2 次方程式の公式を使用したり、整数解を求めたり、判別式を決定したりすることができます。

ステップ

定数項のない3次方程式を解く

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c7\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-1-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-1-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c7\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-1-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-1-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1三次方程式に定数項が含まれているかどうかを確認します$$d {\displaystyle d} 。三次方程式は次の式で表される。 ${\displaystyle a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0}$ 。しかし、必要なキーアイテムは${\displaystyle x^3}$つまり、他の項は三次方程式に現れない可能性があります。 ^[1]
   • 方程式に定数項が含まれている場合${\displaystyle d}$ 、別の解決策を使用する必要があります。
   • もし${\displaystyle a=0}$であれば、この方程式は3次方程式ではありません。 ^[2]
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0e\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-2-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-2-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0e\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-2-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-2-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2方程式の共通因数を抽出する$$x {\displaystyle x} 。この方程式には定数項がないので、すべての項に変数が含まれる。 ${\displaystyle x}$ 。つまり、方程式の共通因数を抽出できる。 ${\displaystyle x}$方程式を単純化します。これを実行した後、式は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle x(a{x}^2+bx+c)}$ 。 ^[3]
   • 例えば、次の式から始めるとします。 ${\displaystyle 3x^3-2x^2+14x=0}$ 。
   • 方程式から共通因数を抽出する${\displaystyle x}$ 、得る${\displaystyle x(3x^2-2x+14)=0}$ 。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c4\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-3-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-3-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c4\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-3-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-3-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3可能であれば、結果として得られる二次方程式を因数分解します。多くの場合、共通因子の抽出${\displaystyle x}$結果として得られる二次方程式${\displaystyle a{x}^2+bx+c}$すべて因数分解できます。例えば、 ${\displaystyle x^3+5x^2-14x=0}$ 、次のことができます: ^[4]
   • 共通因子の抽出${\displaystyle x}$ : ${\displaystyle x(x^2+5x-14)=0}$
   • 括弧内の二次方程式を因数分解します。 ${\displaystyle x(x+7)(x-2)=0}$
   • 各因子を${\displaystyle 0}$ 。方程式の解を得る${\displaystyle x=0,x=-7,x=2}$ 。
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/14\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-4-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-4-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/14\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-4-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-4-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4括弧内の部分を手動で因数分解できない場合は、二次方程式の公式を使用して解くことができます。あなたはできる${\displaystyle a}$ 、 ${\displaystyle b}$ 、 ${\displaystyle c}$の値を二次方程式の公式（ ${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$ )、二次方程式が 0 となる x の値を見つけます。この方法を使用すると、3次方程式の2つの解を見つけることができます。 ^[5]
   • この例では、 ${\displaystyle a}$ 、 ${\displaystyle b}$そして${\displaystyle c}$価値${\displaystyle 3}$ 、 ${\displaystyle -2}$そして${\displaystyle 14}$これらをそれぞれ次の二次方程式に代入します。

     ${\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

     ${\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{((-2{)}^2-4(3)(14)}}{2(3)}}$

     ${\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{4-(12)(14)}}{6}}$

     ${\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{(4-168}}{6}}$

     ${\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{-164}}{6}}$

   • 解決策1:

     ${\displaystyle \frac{2+\sqrt{-164}}{6}}$

     ${\displaystyle \frac{2+12.8i}{6}}$

   • 解決策2:

     ${\displaystyle \frac{2-12.8i}{6}}$

5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/10\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-5-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-5-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/10\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-5-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-5-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5ゼロであり、2次方程式の解は3次方程式の解です。二次方程式には 2 つの解があり、三次方程式には 3 つの解があります。括弧内の「二次」部分の 2 つの解はすでに見つかりました。 「因数分解」法で解ける方程式の場合、3番目の解は${\displaystyle 0}$ 。 ^[6]
   • 方程式を2つに因数分解する${\displaystyle x(a{x}^2+bx+c)=0}$左側の因子は変数である${\displaystyle x}$右側の係数は括弧内の二次方程式です。いずれかの要素が等しい場合${\displaystyle 0}$とすると、方程式全体は${\displaystyle 0}$ 。
   • したがって、括弧内の2次係数は${\displaystyle 0}$の2つの解は3次方程式の解であり、左辺の因子は${\displaystyle 0}$の${\displaystyle 0}$それ自体も三次方程式の解です。
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因数表を使って整数解を求める

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/dd\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-6-Version-4.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-6-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/dd\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-6-Version-4.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-6-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1三次方程式に$$d {\displaystyle d}値がゼロではない定数項。フォームが${\displaystyle a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0}$この方程式にはゼロ以外の値がある${\displaystyle d}$値の場合、二次方程式に因数分解することはできません。しかし、心配しないでください。以下に説明するような他の方法も使用できます。 ^[7]
   • 方程式によって${\displaystyle 2x^3+9x^2+13x=-6}$例えば。この式では、等号の右側を${\displaystyle 0}$両辺を足す必要があります${\displaystyle 6}$ 。
   • 新しい方程式を取得する${\displaystyle 2x^3+9x^2+13x+6=0}$ 。なぜなら${\displaystyle d=6}$ 、二次方程式法は使用できません。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/6\/64\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-7-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-7-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/6\/64\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-7-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-7-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2検索$$1つの{\displaystyle a}そして$$d {\displaystyle d}要素。三次方程式を解くには、まず次の点に注目する必要がある。 ${\displaystyle x^3}$項の係数${\displaystyle a}$そして、方程式の最後の定数項${\displaystyle d}$それぞれの因数を見つけます。 2 つの数を掛け合わせると別の数になる場合、その 2 つの数は積の因数であることを覚えておいてください。 ^[8]
   • 例えば、 ${\displaystyle 6\times 1}$そして${\displaystyle 2\times 3}$結果は6なので、 1 、 2 、 3 、 6は6の因数です。
   • この例では、 ${\displaystyle a=2}$ 、そして${\displaystyle d=6}$ 。 2の因数は1と2です。 6の因数は1 、 2 、 3 、 6です。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/02\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-8-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-8-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/02\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-8-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-8-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3使用$$1つの{\displaystyle a}を係数で割る$$d {\displaystyle d}要素。意思${\displaystyle a}$の因数を割る${\displaystyle d}$各要因について得られた値を一覧表示します。これを行うと、通常は多くの分数と少数の整数が生成されます。 3 次方程式の整数解は、整数の 1 つ、または整数の 1 つの逆数のいずれかになります。 ^[9]
   • この例では、 ${\displaystyle a}$ 1と2の因数を${\displaystyle d}$の1、2、3、6 を因数分解すると次のようになります。 ${\displaystyle 1}$ 、 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 、 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ 、 ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ 、 ${\displaystyle 2}$そして${\displaystyle \frac{2}{3}}$ 。次に、各数の反数を加算して完成させます。 ${\displaystyle 1}$ 、 ${\displaystyle -1}$ 、 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 、 ${\displaystyle -\frac{1}{2}}$ 、 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ 、 ${\displaystyle -\frac{1}{3}}$ 、 ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ 、 ${\displaystyle -\frac{1}{6}}$ 、 ${\displaystyle 2}$ 、 ${\displaystyle -2}$ 、 ${\displaystyle \frac{2}{3}}$そして${\displaystyle -\frac{2}{3}}$ 。 3次方程式の整数解もその一つです。
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/9\/9e\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-9-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-9-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/9\/9e\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-9-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-9-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4手動で整数を置き換えます。この方法は簡単ですが、時間がかかる場合があります。割り算の結果がわかったら、手動で整数を代入して、どの整数が3次方程式に等しくなるかを確認します。 ${\displaystyle 0}$ 、そして方程式の解を求めます。例えば、 ${\displaystyle 1}$式に代入すると次のようになる。 ^[10]
   • ${\displaystyle 2(1{)}^3+9(1{)}^2+13(1)+6}$ 、今すぐ${\displaystyle 2+9+13+6}$結果は等しくありません${\displaystyle 0}$ 。したがって、次に取得された値が使用されます。
   • もし${\displaystyle -1}$これを式に代入すると、 ${\displaystyle (-2)+9+(-13)+6}$結果は次のようになる${\displaystyle 0}$ 。これはつまり${\displaystyle -1}$方程式の整数解です。
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b9\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-10-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-10-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b9\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-10-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-10-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5 は、より複雑ですが、より高速になる可能性のある合成除算を使用します。すべての値を 1 つずつ入力するのに時間をかけたくない場合は、複合除算と呼ばれるより速い方法を試すことができます。一般的には、合成除算を使用して、結果の整数値を${\displaystyle a}$ 、 ${\displaystyle b}$ 、 ${\displaystyle c}$そして${\displaystyle d}$ 。残りを受け取ったら${\displaystyle 0}$であれば、この値は 3 次方程式の解となります。 ^[11]
   • 包括分割は複雑なトピックであり、この記事の範囲を超えています。次の例は、合成除算を使用して 3 次方程式を解く方法を示しています。

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • 最終的な残りは${\displaystyle 0}$ここからわかるのは${\displaystyle -1}$ 3次方程式の整数解です。
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判別法の使用

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/fd\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-11-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-11-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/fd\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-11-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-11-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1書き込み$$1つの{\displaystyle a} 、 $$b {\displaystyle b} 、 $$c {\displaystyle c}そして$$d {\displaystyle d}の値。この方法では、方程式内の各項の係数を広範に利用します。始める前に書き留めておいてください${\displaystyle a}$ 、 ${\displaystyle b}$ 、 ${\displaystyle c}$そして${\displaystyle d}$後で混乱を避けるためです。 ^[12]
   • 質問の例${\displaystyle x^3-3x^2+3x-1}$ 、書き留める${\displaystyle a=1}$ 、 ${\displaystyle b=-3}$ 、 ${\displaystyle c=3}$そして${\displaystyle d=-1}$ 。注意： ${\displaystyle x}$変数の前に係数がないので、その係数は${\displaystyle 1}$ 。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f0\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-12-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-12-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f0\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-12-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-12-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2正しい式を使用して判別式ゼロを計算します。判別法を使用して 3 次方程式を解くには非常に複雑な数学が関係しますが、この方法を注意深く実行すると、他の方法では解けなかった 3 次方程式を解くのに非常に役立つことがわかります。まず、適切な値を式に代入します${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0=b^2-3ac}$方程式で、最初の重要な値、判別式のゼロを見つけます。 ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0}$ 。 ^[13]
   • 判別式は、多項式の根に関する情報を与える数値です。すでにご存知かもしれませんが、二次判別式は（ ${\displaystyle b^2-4ac}$ ）。
   • 例の計算プロセスは次のとおりです。

     ${\displaystyle b^2-3ac}$

     ${\displaystyle (-3{)}^2-3(1)(3)}$

     ${\displaystyle 9-3(1)(3)}$

     ${\displaystyle 9-9=0={\mathrm{\Delta }}_0}$

3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c2\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-13-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-13-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c2\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-13-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-13-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3次に計算します$$ Δ 1 = 2 b 3 − 9 1つのb c + 27 1つの2 d {\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d} 。次に必要な重要な数値は判別式です${\displaystyle 1}$ 、今すぐ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1}$計算手順は少し複雑ですが、方法は同じです。 ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0}$基本的に同じです。適切な値を式に代入します${\displaystyle 2b^3-9abc+27a^{2}d}$入って、 ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1}$の値。 ^[14]
   • 例の計算プロセスは次のとおりです。

     ${\displaystyle 2(-3{)}^3-9(1)(-3)(3)+27(1{)}^2(-1)}$

     ${\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)}$

     ${\displaystyle -54+81-27}$

     ${\displaystyle 81-81=0={\mathrm{\Delta }}_1}$

4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3b\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-14-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-14-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/3b\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-14-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-14-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4計算: ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=({\mathrm{\Delta }}_1^2-4{\mathrm{\Delta }}_0^3)÷-27a^2}$ 。次に、 ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0}$そして${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1}$の値は、3次方程式の判別式を計算します。 3 次方程式では、判別式が正の場合、方程式には 3 つの実数解が存在します。判別式がゼロの場合、方程式には 1 つまたは 2 つの実数解があり、場合によっては 2 つの実数解が等しくなります。判別式が負の場合、方程式には実数解が 1 つだけ存在します。 ^[15]
   • 3 次方程式のグラフは x 軸と少なくとも 1 回交差する必要があるため、3 次方程式には少なくとも 1 つの実数解が必要です。
   • この例では、 ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0}$そして${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1}$等しい${\displaystyle 0}$ 、それで${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$計算は比較的簡単です。計算プロセスは次のとおりです。

     ${\displaystyle ({\mathrm{\Delta }}_1^2-4{\mathrm{\Delta }}_0^3)÷(-27a^2)}$

     ${\displaystyle ((0{)}^2-4(0{)}^3)÷(-27(1{)}^2)}$

     ${\displaystyle 0-0÷27}$

     ${\displaystyle 0=\mathrm{\Delta }}$したがって、この方程式には 1 つまたは 2 つの解があります。

5. 計算： ${\displaystyle C{=}^3\sqrt{\left(\sqrt{{\mathrm{\Delta }}_1^2-4{\mathrm{\Delta }}_0^3}+{\mathrm{\Delta }}_1\right)÷2}}$ 。最後に計算する重要な値は${\displaystyle C}$ 。最後に 3 つのルートを見つけるのに役立ちます。通常の計算プロセスに従い、必要に応じて代入します。 ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_1}$そして${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_0}$ 。
   • この例では、 ${\displaystyle C}$計算プロセスは次のとおりです。

     ${\displaystyle {}^3\sqrt{\sqrt{({\mathrm{\Delta }}_1^2-4{\mathrm{\Delta }}_0^3)+{\mathrm{\Delta }}_1}÷2}}$

     ${\displaystyle {}^3\sqrt{\sqrt{(0^2-4(0{)}^3)+(0)}÷2}}$

     ${\displaystyle {}^3\sqrt{\sqrt{(0-0)+0}÷2}}$

     ${\displaystyle 0=C}$

6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/02\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-16.jpg\/v4-460px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-16.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/02\/Solve-a-Cubic-Equation-Step-16.jpg\/v4-728px-Solve-a-Cubic-Equation-Step-16.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6変数を使用して 3 つの根を計算します。三次方程式の根または解は、次の式を使って求めることができる。 ${\displaystyle -(b+u^{n}C+{\mathrm{\Delta }}_0÷(u^{n}C))÷3a}$計算すると、 ${\displaystyle u=(-1+\sqrt{-3})÷2}$ 、 nは1、2 、または3です。必要に応じて値を入力して計算します。これには多くの計算が含まれますが、方程式が成り立つ 3 つの解が得られるはずです。
   • nが1 、 2 、 3 の場合の式の値を計算すると、例題の答えがわかります。このようにして得られた答えは、三次方程式の解である可能性があります。答えを方程式に代入すると、答えが0になるものが方程式の正しい解となります。
   • 例えば、 1を代入すると${\displaystyle x^3-3x^2+3x-1}$結果は0なので、 1 は​​ 3 次方程式の解です。
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