二項式の因数分解方法

代数学において、二項式はax + bのように、プラス記号またはマイナス記号で結ばれた 2 つの項からなる式です。最初の項には変数が含まれている必要がありますが、2 番目の項には必ずしも含まれている必要はありません。二項式を因数分解するということは、二項式を得るために掛け合わせることができるより単純な項に分解することを意味します。因数分解により二項式が単純化され、さらに使用できるようになります。

パート1 パート1/3:

二項式の因数分解

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/5f\/Factor-Binomials-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Binomials-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5f\/Factor-Binomials-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Binomials-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1因数分解の基本を復習します。因数分解とは、大きな数を最も単純に割り切れる部分に分解するプロセスです。それぞれの部分は「因子」と呼ばれます。たとえば、数字 6 は、1、2、3、6 の 4 つの異なる数字に分解できます。したがって、6 の因数は 1、2、3、6 です。
- 32 の因数は 1、2、4、8、16、32 です。
- 数字「1」と因数分解した数字は因数である必要があります。したがって、3 のような小さな数の因数は 1 と 3 だけです。
- 因数には、均等に割り切れる数、つまり「整数」のみが含まれます。 32 を 3.564 または 21.4952 で割ることはできますが、これらは 32 の因数ではなく、単なる小数です。
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- 3t + 6 → 6 + 3t
- 3x ⁴ + 9x ² → 9x ² + 3x ⁴
- x ² - 2 → -2 + x ²
  - 並べ替え後も 2 の前のマイナス記号は保持されることに注意してください。項が減数である場合は、並べ替え時に先頭のマイナス記号を保持します。
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- 練習: 3t + 6 .
  - 3の因数: 1、3
  - 6 の因数: 1、2、3、6。
  - 最大公約数は3です。
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- 練習: 3t + 6 .
- 最大公約数を求める: 3
- 両方の項から因数を消去します: 3t/3 + 6/3 = t + 2
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- 練習: 3t + 6
- 最大公約数を求める: 3
- 両方の項から因数を消去します: 3t/3 + 6/3 = t + 2
- 新しい式に係数3(t + 2)を掛けます。
- 因数分解後の最終答え: 3(t + 2)
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- 2つの項目の順序を並べ替えます: 18 + 12t
- 最大公約数を見つける: 6
- 両方の項の因数を消去します: 18t/6 + 12t/6 = 3 + 2t
- 新しい式に係数6(3 + 2t)を掛けます。
- 答えを確認してください: (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t
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パート2 パート2/3:

二項式を因数分解して方程式を解く

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/1f\/Factor-Binomials-Step-7-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Binomials-Step-7-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/1f\/Factor-Binomials-Step-7-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Binomials-Step-7-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1因数分解を使用して方程式を単純化し、解きやすくします。二項式、特に複雑な二項式を含む方程式を解く場合、すべての項に共通する因数を見つけることは不可能に思えるかもしれません。たとえば、 {{{1}}}を解いてみましょう。こうしたタイプの方程式、特に指数関数を含む方程式を解く 1 つの方法は、まず因数分解することです。
- 演習: 5y - 2y ² = -3y
- 二項式には 2 つの項のみを含める必要があることに注意してください。項の数が 2 を超える場合は、多項式を解く知識を使用する必要があります。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/cb\/Factor-Binomials-Step-8-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Binomials-Step-8-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/cb\/Factor-Binomials-Step-8-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Binomials-Step-8-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2加算または減算して、方程式の一方の辺がゼロになるようにします。この方法は、数学における最も基本的な事実の 1 つである「任意の数を 0 倍すると 0 になる」ということに完全に依存しています。したがって、方程式がゼロに等しい場合、因数分解された項の 1 つはゼロに等しくなければなりません。まず、加算と減算を行って、片側がゼロになるようにします。
- 演習: 5y - 2y ² = -3y
- 方程式をゼロにします: 5y - 2y ² + 3y = -3y + 3y
  - 8年 - 2年² = 0
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8b\/Factor-Binomials-Step-9-Version-3.jpg\/v4-460px-Factor-Binomials-Step-9-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8b\/Factor-Binomials-Step-9-Version-3.jpg\/v4-728px-Factor-Binomials-Step-9-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3方程式のゼロ以外の側を通常どおり因数分解します。このステップでは、方程式のもう一方の辺が存在しないものと仮定できます。最大公約数を見つけ、それを使用して方程式を因数分解し、因数分解された式を取得します。
- 演習: 5y - 2y ² = -3y
- 方程式をゼロにします: 8y - 2y ² = 0
- 因数分解: 2y(4 - y) = 0
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a0\/Factor-Binomials-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Factor-Binomials-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a0\/Factor-Binomials-Step-10-Version-2.jpg\/v4-828px-Factor-Binomials-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4括弧内と括弧外の因子がゼロであると仮定します。演習では、式は 2y 掛ける 4 - y と書かれ、ゼロになります。任意の数をゼロで乗じるとゼロになるため、2y または 4-y は 0 になります。 2 つの別々の方程式を作成し、それらがゼロになる y の値を見つけます。
- 演習: 5y - 2y ² = -3y
- 方程式をゼロにします: 8y - 2y ² + 3y = 0
- 因数分解: 2y(4 - y) = 0
- 両方の係数を 0 に設定します。
  - 2y = 0
  - 4 - y = 0
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- 2y = 0
  - 2y/2 = 0/2
  - y = 0
- 4 - y = 0
  - 4 - y + y = 0 + y
  - y = 4
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- 5(0) - 2(0) ² = -3(0)
  - 0 + 0 = 0
  - 0 = 0なので、この答えは正解です
- 5(4) - 2(4) ² = -3(4)
  - 20 - 32 = -12
  - -12 = -12したがって、この答えも正解です。
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パート 3パート3/3:

より複雑な問題への対処

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ea\/Factor-Binomials-Step-13-Version-2.jpg\/v4-460px-Factor-Binomials-Step-13-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ea\/Factor-Binomials-Step-13-Version-2.jpg\/v4-828px-Factor-Binomials-Step-13-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 変数は、指数を持つものであっても、因数としてカウントされることを覚えておいてください。因数分解とは、方程式を均等に割り切る因数を見つけることだと覚えておいてください。式x ^{4 は}x*x*x*xの別の書き方です。つまり、他の項にも x が含まれている場合は、x を使用して因数分解できます。変数は通常の数値として扱う必要があります。例えば：
- 両方の項に t が含まれているため、 2t + t ^{2 は}因数分解でき、答えはt(2 + t)になります。
- 一度に複数の変数を抽出することもできます。たとえば、 x ² + x ⁴では、両方の項に同じx ²が含まれます。これをx ² (1 + x ²⁾に因数分解することができます。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d3\/Factor-Binomials-Step-14-Version-2.jpg\/v4-460px-Factor-Binomials-Step-14-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d3\/Factor-Binomials-Step-14-Version-2.jpg\/v4-728px-Factor-Binomials-Step-14-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2同類項を結合し、単純化されていない二項式を二項式形式に変換します。 6 + 2x + 14 + 3xという式を例に挙げてみましょう。この式には 4 つの項があるように見えますが、よく見ると実際には 2 つしかないことがわかります。類似項を組み合わせることができます。6 と 14 には変数がなく、2x と 3x には同じ変数があるため、これらを互いに組み合わせることができます。その後の因数分解は簡単です。
- 最初の問題: 6 + 2x + 14 + 3x
- 項を並べ替えてください: 2x + 3x + 14 + 6
- 類似項を結合する: 5x + 20
- 最大公約数を求めよ: 5(x) + 5(4)
- 因数分解: 5(x+4)
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a4\/Factor-Binomials-Step-15-Version-2.jpg\/v4-460px-Factor-Binomials-Step-15-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a4\/Factor-Binomials-Step-15-Version-2.jpg\/v4-728px-Factor-Binomials-Step-15-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3特別な「完全二乗差」を特定します。完全平方数とは、平方根が整数である数です。たとえば、 9 は3 * 3 、 ^x2はx * x 、さらに^{144t2 は}12t * 12tに等しいため、完全平方数です。二項式が 2 つの完全な平方数の減算 ( a ² - b ²など) である場合は、次の式にそれらを代入するだけです。
- 完全二乗差の公式: a ² - b ² = (a + b)(a - b)
- エクササイズ: 4x ² - 9
- 平方根を求める
  - √4x ² = 2x
  - √9 = 3
- 平方を式に代入すると： 4x ² - 9 = (2x + 3)(2x - 3) ^{[1] XResearchソース}
{"smallurl"： "https：\/\/www.wikihow.com \/images_en \/thumb \/d \/da \/factor-binomials-step-16-version-2.jpg \/vv4-460px-factor-binials-step-16-version-2.jpg：" "" w.wikihow.com \/images \/shumb \/d \/da \/factor-binomials-version-2.jpg \ /v4-828px-factor-binomials-step-16-version-2.jpg "、" smallwidth "：460、" 345、 "fig fighth "：546、"ライセンス "：" <div class = \ "mw-parser-output \"> <\/div> "} 4 「完全なキュービック差分式」を分解することを学びます。完全な平方数と同様に、2 つの立方項を減算する簡単な公式があります。たとえば、 a ³ - b ³ 。前と同じように、項の 3 乗根を見つけて、それを式に代入するだけです。
- 完全な三次差分の公式: a ³ - b ³ = (a - b)(a ² + ab + b ² )
- 練習: 8x ³ - 27
- 立方根を求める:
  - ∛8x ³ = 2x
  - ∛27 = 3
- 立方体を式に代入すると： 8x ³ - 27 = (2x - 3)(4x ² + 6x + 9) ^{[2] XResearchソース}
{"Smallurl"： "https：\/\/www.wikihow.com \/Images_en \/Thumb \/f \/fa \/factor-binomials-step-17-version-2.jpg \/vv4-460px-factor-binialimialis-step-step-17-version-2.jpg" "" ww.wikihow.com \/images \/shumb \/f \/fa \/factor-binomials-step-17-version-2.jpg \ /v4-828px-factor-binomials-factor-version-2.jpg "、" smallwidth "：460、" 345、 "" Bigwid " Eight "：546、"ライセンス "：" <div class = \ "mw-parser-output \"> <\/div> "} 5は、完全なキューブの合計にも式があることを知っています。完全な二乗差とは異なり、簡単な式を使用して、 a ³ + b ³のような三乗和式を簡単に因数分解できます。プラスとマイナスの符号がわずかに異なることを除けば、3次差分の公式とほぼ同じです。この式は他の 2 つと同じように簡単に書けます。問題文にある 2 つの 3 次項を認識して、式を適用するだけです。
- 完全な三次和の公式: a ³ + b ³ = (a + b)(a ² - ab + b ² )
- 練習: 8x ³ - 27
- 立方根を求める:
  - ∛8x ³ = 2x
  - ∛27 = 3
- 立方体を式に代入すると： 8x ³ - 27 = (2x + 3)(4x ² - 6x + 9) ^{[3] XResearchソース}
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ヒント

すべての二項式に共通因数があるわけではありません。いくつかの二項式はすでに最も単純な形になっています。
共通因数があるかどうかわからない場合は、まず小さい数で割ってみてください。たとえば、16 が 32 と 16 の共通因数であることがわからない場合は、まず両方の数を 2 で割ります。 16 と 8 が得られ、これらも 8 で割り切れます。割ると 2 と 1 が得られ、これが最小の因数です。明らかに、32 と 16 の共通因数は 8 と 2 より大きいです。
⁶などの x の 6 乗は完全な平方数と完全な立方数の両方であることに注意してください。したがって、 x ⁶ - 64のような完全な 6 乗二項式に対して、上記の 2 つの特別な式をどちらの順序でも使用できます。ただし、最初に完全な二乗差の公式を使用する方が簡単である場合があります。これにより、二項式をより完全に因数分解できるためです。

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