微分方程式を解く方法

微積分を 2 学期または 3 学期学んだ後は、微分方程式を解く練習を十分に行うために導関数を使用する必要があります。導関数は、あるデータと別のデータの変化率です。たとえば、時間の経過に伴う速度の変化率は、速度の時間微分です (これを傾きと比較してください)。この変化率は毎日何度も発生します。たとえば、複利の法則では、利息の増加率は口座残高に比例し、dV(t)/dt=rV(t) および V(0)=P (P は初期残高) と表すことができます。V(t) は時間の関数で、現在の口座残高 (利息を継続的に評価するために使用されます) を表し、r は現在の金利です (dt は非常に短い時間間隔、dV(t) は微小量、およびはこの期間中の V(t) の変化であり、それらの商が増加率です)。クレジットカードの利息は通常、毎日発生し、APR（年率）として表されますが、この微分方程式を解くと、連続解 V(t) = Pe ^(rt) が得られます。この記事では、特に力学と物理学における最も一般的なタイプの微分方程式を解く方法を説明します。

方法1方法1/4:

基本的な方法

1 導関数を定義する。変数が 0 に近づくと、関数の増分 (通常は y) と変数の増分 (通常は x) の比率が極限値に達します。これが導関数 (特に英国では微分係数とも呼ばれます) です。つまり、変数の小さな変化が瞬時に関数の小さな変化を引き起こします。速度と距離に関して言えば、速度とは時間に対する距離の瞬間的な変化です。 1次導関数と2次導関数を比較してみましょう。
- 一次導関数は元の導関数の関数です。たとえば、「速度は時間に対する距離の一次導関数です。」
- 2 次導関数は関数の導関数の導関数です。例: 「加速度は、時間に対する距離の 2 次導関数です。」
2次数 (導関数の最高次数) と次数 (導関数の最高次数) を混同しないでください。最高導関数の次数は、最高導関数の次数によって決まります。導関数の最高次数は、導関数内の項の最高次数になります。たとえば、図 1 の微分方程式は 2 次導関数と 3 次導関数です。
3一般解、完全解、特殊解を区別する方法を理解する。完全な解にはいくつかの任意定数が含まれており、任意定数の数は導関数の最高次数に等しくなります (n 次微分方程式を解くには n 回の積分が必要であり、各積分で任意定数を追加する必要があります)。たとえば、複利の法則では、微分方程式 dy/dt=ky は 1 次導関数であり、完全な解 y = ce^(kt) には任意の定数があります。特殊解は、一般解に特定の数値を代入することによって得られます。広告する

方法2方法2/4:

一次微分方程式を解く

1 次微分方程式は M dx + N dy = 0 と表すことができます。ここで、M と N はそれぞれ x と y の関数です。この微分方程式を解くには、次の手順に従います。

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a7\/Solve-Differential-Equations-Step-4.jpg\/v4-460px-Solve-Differential-Equations-Step-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/a\/a7\/Solve-Differential-Equations-Step-4.jpg\/v4-728px-Solve-Differential-Equations-Step-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1この変数が分離可能かどうかを確認します。微分方程式は、f(x)dx + g(y)dy = 0 と表せる場合、分離可能です。 f(x) は x のみに関する関数であり、g(y) は y のみに関する関数です。これらは解くのが最も簡単な微分方程式です。これらは∫f(x)dx +∫g(y)dy = c として積分できます。ここで c は任意の定数です。以下は一般的な方法です。例として図 2 を参照してください。
- 小数部分を削除します。方程式に微分が含まれている場合は、独立変数の微分を掛けます。
- 同じ微分を持つすべての項を1つの項にグループ化する
- 異なる差動部品を個別に統合します。
- 表現を簡略化します。類似項を組み合わせることで、対数を指数に変換し、最も単純な記号を使用して任意の定数を表すことができます。以下は例です。
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- y = vxとすると、dy/dx = x(dv/dx) + vとなります。
- M dx + N dy = 0 から、dy/dx = -M/N = f(v) が得られます。 y は v の関数だからです。
- これは、f(v) = dy/dx = x(dv/dx) + v であることを示しています。これで変数xとvを分離することができます: dx/x = dv/(f(v)-v))
- 分離可能な変数を使用して新しい微分方程式を解き、vxにyを代入してyを得る。
{"smallurl"： "https：\/\/www.wikihow.com \/images_en \/thumb \/e \/eb \/solve-differention-equations-step-6.jpg ikihow.com \/images \/thumb \/e \/eb \/solve-differention-equations-step-6.jpg \/v4-728px-solve-differention-equations-step-6.jpg "、" smallwidth "：460、" smallheigh " "：" <div class = \ "mw-parser-output \"> <\/div> " } = Q 形式の線形方程式を解きます (PQ は x のみに関係する方程式または定数です)。ここでは x と y は同じ意味で使用できることに注意してください。図4を例に挙げます。
- y=uvとします。ここでuとvはxの関数です。
- 両辺を微分すると、dy/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)となる。
- dy/dx + Py = Q を代入すると、u(dv/dx) + v(du/dx) + Puv = Q、または u(dv/dx) + (du/dx + Pu)v = Q となります。
- 方程式 du/dx + Pu = 0 は積分によって分離され、u が得られます。次に、u の値を使用して、u(dv/dx) = Q を通じて v を見つけます。ここでも変数は分離できます。
- 最後に、y=uvを使用してyを取得します。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b8\/Solve-Differential-Equations-Step-7.jpg\/v4-460px-Solve-Differential-Equations-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b8\/Solve-Differential-Equations-Step-7.jpg\/v4-728px-Solve-Differential-Equations-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4ベルヌーイ方程式を解きます: dy/dx + p(x) y = q(x)yn です。次のように解決します:
- u = y1-nとすると、du/dx = (1-n) yn (dy/dx)となります。
- したがって、y = u1/(1-n)、dy/dx = (du/dx)yn/(1-n)、yn = un/(1-n)となります。
- ベルヌーイ方程式に代入し、(1-n) / u1/(1-n)を掛けると、du/dx + (1-n) p(x) u = (1-n) q(x) が得られます。
- これは u の単なる 1 次線形方程式であり、上記のように解くことができることに注意してください (手順 3)。これを解いて y = u1/(1-n) に代入すると完全な解が得られます。
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方法3方法3/4:

2階微分方程式を解く

1微分方程式が図5の式(1)に従っているかどうかを確認します。f(y)はyのみの関数ですか、それとも定数ですか?その場合は、図 5 に示す方法を使用してください。
2定数係数の2次線形微分方程式を解きます。この微分方程式が図6の式(1)を満たすかどうかを確認します。満たされている場合、この微分方程式は、以下の手順に従うだけで二次方程式として解くことができます。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d9\/Solve-Differential-Equations-Step-10.jpg\/v4-460px-Solve-Differential-Equations-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d9\/Solve-Differential-Equations-Step-10.jpg\/v4-728px-Solve-Differential-Equations-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3一般的な2次線形微分方程式を解くには、その微分方程式が図7に示す式(1)を満たすかどうかを確認する必要があります。もしそうなら、微分方程式は次の手順で解くことができます。図 7 の手順を例に挙げます。
- 上記の方法を使用して、図6の方程式(1) (f(x)=0)を解きます。解はy = uの形式をとり、uは図7の式(1)の共関数である。
- 以下の手順に従って、図7の式(1)に代入し、特定の解y = vを求めます。
  - f(x)が式(1)の特定の解でない場合、次の式が成り立ちます。
    - f(x) が f(x) = a + bx の形式である場合、y = v = A + Bx と仮定します。
    - f(x) が f(x) = aebx の形式である場合、y = v = Aebx と仮定します。
    - f(x) が f(x) = a1 cos bx + a2 sin bx の形式である場合、y = v = A1 cos bx + A2 sin bx と仮定します。
  - f(x)が(1)の特殊解である場合、上記の形式に従ってそれぞれの場合でそれをxで乗算します。
- 式（１）の完全な解はy = u + vで与えられる。
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方法 4方法4/4:

高階微分方程式を解く

高階微分方程式は、いくつかの特殊な場合を除いて、解くのがより困難です。

1微分方程式が図5の式(1)の形を満たすかどうかを確認します。ここで、f(x)はxのみに関する関数か定数です。はいの場合は、図 8 の手順に従ってください。
2微分方程式が図9の式(1)の形を満たすかどうかを確認します。もしそうなら、微分方程式は次のように解くことができます。
3より一般的な「n」次線形微分方程式を解くには、その微分方程式が図10の式(1)の形を満たすかどうかを確認する必要があります。そうであれば、この微分方程式は 2 次線形微分方程式と同様に解かれます。次のように解きます。広告

現実世界のアプリケーション

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/59\/Compoound_interest_307.jpg\/460px-Compoound_interest_307.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/59\/Compoound_interest_307.jpg\/500px-Compoound_interest_307.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":460,"bigWidth":500,"bigHeight":500,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}複利: 利率の増加は初期金額に比例します。より一般的には、独立変数の金利の変化は、対応する値の関数に比例します。つまり、y = f(t) の場合、dy / dt = ky となります。この関数を分離可能な変数で解くと、y = ce ^(kt) が得られます。ここで、y は金額に対する累積複利、c は任意の定数、k は利率 (たとえば、米ドルの利率は 1 年あたり 1 ドル)、t は時間です。ここでは時間はお金であるようです。
- 複利は日常生活の多くの側面に当てはまることに注意してください。たとえば、塩濃度を薄めるために塩溶液に水を加えるとします。どのくらいの水を加える必要がありますか?水の流速は濃度の変化にどのように影響しますか? s = ある時間における塩溶液中の塩の量、x = 通過した水の量、v = 溶液の体積とします。塩分濃度 = s/v。ここで、水の量 Δx がこぼれたと仮定すると、失われた塩の量は (s/v)Δx となり、塩摂取量の変化 Δs は Δs = -(s/v)Δx で表されます。両辺をΔxで割ると、Δs /Δx = -(s / v)となります。 Δx -> 0 の極限をとると、ds / dx = - s / v となります。これは複利の法則の形をした微分方程式です。ここで、y は s、t は x、k は 1/v になります。
- ニュートンの冷却の法則は複利の法則の別のバリエーションです。低温環境では体温が低下し、体温と周囲の空気の温度差が比例することを意味します。 x = 過剰体温、t = 時間として、dx / dt = kx となります。 k は定数です。解は x = ce ^(kt) です。ここで c は上記の任意の定数です。過剰温度 x が最初は 80°F (26°C) で、1 分後に 70°F (21°C) に下がったとします。2 分後には何が起きるでしょうか? t = 時間 (分)、x = 過剰温度とします。 80 = ce ^(k * 0) = c となります。同時に、70 = ce ^(k * 1) = 80 e ^ kなので、k = ln(7/8)となります。したがって、x = 70 e ^(ln(7/8)t) はこの関数の特殊解です。ここで t = 2 とすると、x = 70 e ^(ln(7/8)* 2) = 53.59 華氏度となります。
- 大気熱力学では、海抜の大気圧 p の変化率は高度 h に比例します。これは複利の法則の別のバリエーションです。ここでの微分方程式は dp/dh = kh であり、k は定数です。
- 化学における化学反応の速度は、時間 t に対する反応量 x の変化率です。反応開始時の濃度を a とすると、dx / dt = k(a - x) となり、k は速度定数です。これは複利の法則の別のバリエーションです。 (a - x) が従属変数になります。 d(a - x)/dt = - k(a - x) であることがわかるので、d(a - x)/(a - x) = -kdt となります。積分すると、ln(a - x) = kt+a が得られます。 t = 0 では、a - x = a だからです。式を変形すると、速度定数 k = (1/t)ln(/(a - x)) が得られます。
- 電磁気学では、回路が与えられた場合、電圧は V、電流は i (アンペア) です。電圧 V が回路内の抵抗 R (オーム) と回路のインダクタンス L を超えたときに、消費が発生します。 L は、V = iR + L(di/dt) または di/dt = (V - iR)/L という式によって決まります。これは複利の法則の別のバリエーションであり、V - iR が従属変数になります。
音響的には、単振動の加速度は距離に反比例します。加速度は距離の 2 次導関数であるため、d2s/dt2+k2s=0 となります。ここで、s = 距離、t = 時間、k2 は単位距離あたりの加速度の大きさです。これは単純な調和方程式であり、図6で解いた方程式(9)と(10)と同様に、定数係数を持つ2次線形微分方程式でもあります。解は s = c1cos kt + c2sin kt です。この式はさらに簡略化することができます。 c1 = b sin A、c2 = b cos Aとします。答えを代入すると、b sin A cos kt + b cos A sin kt となります。三角法では sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y となるため、式は s = b sin (kt + A) と簡略化できます。波形は単純な調和方程式に従い、周期 2π/k で -b と b の間を変動します。 {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/cc\/Moodswingerscale_81.jpg\/460px-Moodswingerscale_81.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/cc\/Moodswingerscale_81.jpg\/469px-Moodswingerscale_81.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":548,"bigWidth":470,"bigHeight":560,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
- バネ振動: 質量 m の物体が振動するバネの上に置かれます。フックの法則によれば、バネが自然長（または平衡位置）から s 単位伸びたり圧縮されたりすると、結果として生じる復元力 F は s に比例し、F = -k2s となります。ニュートンの第 2 法則 (力は質量と加速度の積に等しい) から、m d2s / dt2 = -k2s または m d2s / dt2 + k2s = 0 となります。これは単純な調和方程式の表現です。
- 減衰振動: 上記の場合のように減衰力を持つ振動するバネを考えます。摩擦などの減衰力は、振動子の振動の振幅を減らす効果を持つ力です。例えば、自動車のショックアブソーバーは減衰力原理に基づいて製造することができます。ほとんどの場合、減衰力 Fd は物体の速度にほぼ比例します。つまり、Fd = c2 ds / dt となり、c2 は定数です。減衰力と復元力の式を組み合わせると、ニュートンの第 2 法則から -k2s - c2 ds / dt = m d2s / dt2、または m d2s / dt2 + c2 ds / dt + k2s = 0 となります。この微分方程式は2次線形方程式であり、補助方程式mr2 + c2r + k2 = 0をs= e ^(rt)で解くことで解くことができます。この方程式を二次方程式の公式を使って解くと、r1 = (c2 + sqrt(c4 - 4 mk2))/2m、r2 = (c2 - sqrt(c4 - 4 mk2))/2m となります。 {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/4\/43\/R75-rear-shock_683.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/43\/R75-rear-shock_683.jpg\/351px-R75-rear-shock_683.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":732,"bigWidth":352,"bigHeight":560,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"}
  - 過剰減衰の場合: c4 - 4 mk2 > 0 の場合、r1 と r2 は異なる実数です。これは s = c1e ^(r1t) + c2e ^(r2t) で解くことができます。 c2、m、k2 はすべて正の数なので、sqrt(c4 - 4 mk2) は c2 より小さくなければなりません。つまり、2 つの根 r1 と r2 は負の数であり、関数は指数関数的減少形式になります。この場合、バネの振動は発生しません。減衰力の強い材料は、高粘度のオイルやグリースを作るのに使用できます。
  - 臨界減衰の場合: c4 - 4 mk2 = 0、r1 = r2 = c2 / 2m の場合、解は s = (c1 + c2t)e ^((-c2/2m)t) です。これはまだ指数関数的減少であり、バネは振動しません。しかし、減衰力がわずかに低下すると、物体は平衡点を超えて振動することになります。
  - 減衰不足の場合: c4 - 4 mk2 < 0 の場合、複素根、つまり - c /2m + / -ωi、ω = sqrt(4 mk2 - c4))/2m が得られます。解は s = e ^(-(c2/2m)t)(c1 cos ωt + c2 sin ωt) です。これは、減衰係数 e^(-(c2/2m)t の影響を受ける振動状況です。c2 と m は両方とも正であるため、t が無限大に近づくにつれて e^(-(c2/2m)t) は 0 に近づきます。したがって、最終的に動きはゼロに減衰します。

ヒント

注: 微分法の反対は積分法であり、これは常に変化する量の累積合計を求めるために使用されます。たとえば、距離は、一定期間にわたる距離の損失の既知の変化率 (速度) によって計算できます (d = rt による)。
解を元の微分方程式に代入し、それが満たされるかどうかを確認します。これにより、方程式を正しく解いたことが保証されます。
多くの微分方程式は、上記の方法では解くのが困難です。しかし、上記の方法は一般的な微分方程式を扱うには十分です。

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警告する

微分できる方程式とは異なり、多くの微分方程式の表現は積分できません。したがって、統合できない機能を統合しようとして時間を無駄にしないでください。微分できるかどうかを確認するには、必ず積分表を確認してください。微分方程式は、積分形式が実際に成り立つかどうかに関係なく、積分形式を含む式に簡約された場合にのみ解くことができます。

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