複雑な分数を簡略化する方法

複素分数とは、分子と分母の両方に分数が含まれる分数です。したがって、複素分数は「積み重ねられた分数」と呼ばれることもあります。複雑な分数を簡略化する難しさは、分子と分母の分数の数、変数の数、および変数の複雑さによって異なります。複雑な分数を簡略化する方法を学ぶには、この記事をお読みください。

方法1方法1/2:

逆の掛け算で複雑な分数を簡略化する

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- たとえば、(3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10) を簡略化します。まず、分子と分母の式を計算して分数を求めます。
  - まず分子を簡略化します。最小公分母は 15 なので、3/5 に 3/3 を掛けると、分子は 9/15 + 2/15 となり、11/15 になります。
  - 分母をもう一度簡略化します。最小公分母は 70 なので、5/7 に 10/10 を掛け、3/10 に 7/7 を掛けます。分母は 50/70 - 21/70 となり、29/70 になります。
  - したがって、複素分数は(11/15)/(29/70)となる。
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- この例では、複素分数 (11/15)/(29/70) の分母位置の分数は 29/70 です。逆数を求めるには、 29 と 70 の位置を入れ替えて70/29 を得ます。
  - 分母の数が整数の場合は、分数として扱い、その逆数を求める必要があることに注意してください。たとえば、複素分数が (11/15)/(29) の場合、分母は 29/1 と考えられるので、その逆数は1/29 になります。
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- この例では、11/15 × 70/29 を使用します。70 × 11 = 770、15 × 29 = 435 なので、簡略化された分数は770/435 になります。
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- 770 と 435 の最大公約数は 5 です。したがって、分子と分母を 5 で割ると、 154/87になります。 154 と 87 には共通の約数がないので、これが最終的な簡略化結果になります。
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方法2方法2/2:

変数を含む複雑な分数を簡略化する

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- たとえば、(1/x)/(x/6) は逆乗法を使用して簡略化できます。 1/x × 6/x = 6/x ²です。この問題では他の方法を使用する必要はありません。
- ただし、(((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 + ((1)/(x - 5)))の場合、逆乗法を使用した簡略化はより複雑になります。分子と分母を分数に簡略化し、それらを逆にして掛け合わせ、結果をさらに簡略化するのは少し複雑になる場合があります。その場合は、以下で説明する方法を使用する必要があります。
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- 例を挙げてください。上記の式を簡略化して、(((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 + ((1)/(x - 5)))とします。この複素分数の分数項は(1)/(x+3)と(1)/(x-5)です。これら 2 つの分数の最小公分母は(x+3)(x-5)です。
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- この場合、((x+3)(x-5))/((x+3)(x-5))に(((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 + ((1)/(x - 5)))を掛ける必要があります。分子と分母にそれぞれ(x+3)(x-5)を掛けます。
  - まず分子を計算します。 (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)
    - = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5))
    - = (x-5) + (x( ^x2 - 2x - 15)) - (10( ^x2 - 2x - 15))
    - = (x-5) + ( ^x3 - ^2x2 - 15x) - ( ^10x2 - 20x - 150)
    - = (x-5) + ^x3 - ^12x2 + 5x + 150
    - = x ³ - 12x ² + 6x + 145
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- ((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 + ((1)/(x - 5))) の分母は (x +4 + ((1)/(x - 5))) であり、これに最小公分母を掛ける必要があります。
  - (x + 4 + ((1)/(x - 5))) × (x + 3)(x - 5)
  - = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5))
  - = x( ^x2 - 2x - 15) + 4( ^x2 - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5)
  - = x ³ - 2x ² - 15x + 4x ² - 8x - 60 + (x+3)
  - = x ³ + 2x ² - 23x - 60 + (x+3)
  - = x ³ + 2x ² - 22x - 57
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- 新しい分子と分母を使用して、新しい分数を作成できます。新しい分数は元の分数と同じ値を持ちますが、小数項は含まれません。分子は x ³ - 12x ² + 6x + 145、分母は x ³ + 2x ² - 22x - 57 です。したがって、新しい分数は(x ³ - 12x ² + 6x + 145) / (x ³ + 2x ² - 22x - 57) です。
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