等差数列の和を求める方法

等差数列とは、各項が前の項と定数だけ異なる数列のことです。等差数列の合計が必要な場合は、すべての数字を手動で追加できます。ただし、シーケンスに多数の数字が含まれている場合、このアプローチは機能しません。このとき、数列の最初の項と最後の項の平均に数列の項数を掛けて等差数列の合計を素早く計算するという別の方法を使うこともできます。

ステップ

評価シリーズ

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a0\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/a\/a0\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1シーケンスが等差数列であることを確認します。等差数列は、各数値の増分が定数である規則的な数値の集合です。 ^[1] この記事で説明する方法は等差数列にのみ適用できます。
   • 数列が等差数列であるかどうかを判断するには、最初のいくつかの数値の差と最後のいくつかの数値の差を計算します。等差数列の差は常に等しくなければなりません。
   • たとえば、数列10、15、20、25、30は、各項の差が定数(5)に等しいため等差数列です。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/a\/a7\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/a\/a7\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2シーケンス内の項の数を決定します。各数字は項目を構成します。シーケンスがリストされている数字のみで構成されている場合は、項の数を数えることができます。それ以外の場合は、最初の項、最後の項、および公差と呼ばれる項間の差がわかれば、式を使用して項の数を計算することができます。変数を使うことができます${\displaystyle n}$この数字を表します。
   • 例えば、10、15、20、25、30という数列の合計を計算したい場合、 ${\displaystyle n=5}$シーケンスには合計 5 つの項があるためです。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/fe\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/f\/fe\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3シーケンスの最初の項と最後の項を決定します。等差数列の合計を計算するには、これら 2 つの数値を知っておく必要があります。最初の数字は 1 であることが多いですが、必ずしもそうとは限りません。変数を設定することができます${\displaystyle a_1}$数列の最初の項に等しい、変数${\displaystyle a_n}$シーケンスの最後の項に等しい。
   • 例えば、10、15、20、25、30という順序では、 ${\displaystyle a_1=10}$ 、そして${\displaystyle a_n=30}$ 。
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合計を計算する

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c3\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-4-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-4-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/c\/c3\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-4-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-4-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1等差数列の合計を計算する式を列挙します。式は${\displaystyle S_n=n(\frac{a_1+a_n}{2})}$ 、で${\displaystyle S_n}$シーケンスの合計に等しい。 ^[2]
   • この式は、等差数列の合計が、最初の項と最後の項の平均に項の数を掛けたものに等しいことを示していることに注意してください。 ^[3]
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/82\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-5.jpg\/v4-460px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/82\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-5.jpg\/v4-728px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2.変数を設定する$$ん{\displaystyle n} 、 $$1つの1 {\displaystyle a_{1}}そして$$1つのん{\displaystyle a_{n}}式に代入します。置換手順が正しいことを確認してください。
   • たとえば、数列に 5 つの項があり、最初の項が 10、最後の項が 30 の場合、式は次のようになります。 ${\displaystyle S_n=5(\frac{10+30}{2})}$ 。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c3\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-6.jpg\/v4-460px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-6.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c3\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-6.jpg\/v4-728px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-6.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3最初の項目と最後の項目の平均を計算します。 2 つの数字を足して 2 で割ります。
   • 例えば：
     ${\displaystyle S_n=5(\frac{40}{2})}$
     ${\displaystyle S_n=5(20)}$
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/30\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-7.jpg\/v4-460px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-7.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/30\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-7.jpg\/v4-728px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-7.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4平均値に系列内の項目数を掛けます。等差数列の合計を計算します。
   • 例えば：
     ${\displaystyle S_n=5(20)}$
     ${\displaystyle S_n=100}$
     したがって、数列 10、15、20、25、30 の合計は 100 です。
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例を完成させる

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/16\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-8.jpg\/v4-460px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-8.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/16\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-8.jpg\/v4-728px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-8.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 1 から 500 までのすべての数値の合計を計算します。連続する整数をすべて考慮します。
   • シーケンス内の項の数を決定する${\displaystyle n}$ 。 500以内の連続する整数をすべて考慮する必要があるため、 ${\displaystyle n=500}$ 。
   • 数列の最初の項を決定する${\displaystyle a_1}$そして最後の言葉${\displaystyle a_n}$ 。数字の並びは1から500までなので、 ${\displaystyle a_1=1}$ 、そして${\displaystyle a_n=500}$ 。
   • 計算する${\displaystyle a_1}$そして${\displaystyle a_n}$平均: ${\displaystyle \frac{1+500}{2}=250.5}$ 。
   • 平均を掛ける${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle 250.5\times 500=125,250}$ 。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c4\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-9.jpg\/v4-460px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-9.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c4\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-9.jpg\/v4-728px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-9.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2次の等差数列の和を求めます。数列の最初の項は 3 です。数列の最後の項は 24 です。許容範囲は7です。
   • シーケンス内の項の数を決定する${\displaystyle n}$ 。数列の最初の項は 3、最後の項は 24 であり、各項は前の項より 7 大きいため、数列は 3、10、17、24 となります。上記の推論は、一連の各項と前の項との差である公差の定義に基づいています。 ^[4] これはつまり${\displaystyle n=4}$
   • 数列の最初の項を決定する${\displaystyle a_1}$そして最後の言葉${\displaystyle a_n}$ 。数列は3から24なので、 ${\displaystyle a_1=3}$ 、そして${\displaystyle a_n=24}$ 。
   • 計算する${\displaystyle a_1}$そして${\displaystyle a_n}$平均: ${\displaystyle \frac{3+24}{2}=13.5}$ 。
   • 平均を掛ける${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle 13.5\times 4=54}$ 。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/42\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-10.jpg\/v4-460px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-10.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/4\/42\/Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-10.jpg\/v4-728px-Find-the-Sum-of-an-Arithmetic-Sequence-Step-10.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3次の問題を解いてください。陳静さんは今年最初の週に5元を貯金した。彼女は今年の残りの期間、毎週、前の週よりも 5 ドル多く貯金することになります。陳静さんは年末までにいくら貯金したのでしょうか？
   • シーケンス内の項の数を決定する${\displaystyle n}$ 。陳静は1年間貯金しており、1年は52週間なので、 ${\displaystyle n=52}$ 。
   • 数列の最初の項を決定する${\displaystyle a_1}$そして最後の言葉${\displaystyle a_n}$ 。彼女が最初に預けた金額は5元だったので、 ${\displaystyle a_1=5}$ 。彼女がその年の最後の週に貯めた金額を計算することができます。 ${\displaystyle 5\times 52=260}$ 。したがって、 ${\displaystyle a_n=260}$ 。
   • 計算する${\displaystyle a_1}$そして${\displaystyle a_n}$平均: ${\displaystyle \frac{5+260}{2}=132.5}$ 。
   • 平均を掛ける${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle 135.5\times 52=7,046}$ 。つまり、彼女は年末までに合計 7,046 ドルを貯金したことになります。
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