3次多項式を因数分解する方法

この記事では、3 次多項式を因数分解する方法を説明します。組み合わせ法を使用し、自由項を因数分解することによって、このような問題を解決する方法を学ぶ必要があります。

ステップ

組み合わせによる分解

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/16\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-1-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-1-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/16\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-1-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-1-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1多項式を 2 つの部分に分割します。グループ分けした後、個別に解いてください。 ^[1]
   • たとえば、多項式を因数分解すると、x ³ + 3x ² - 6x - 18 = 0 になります。これは（x ³ + 3x ² ）と（- 6x - 18）に分解できます。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/cf\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-2-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-2-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/cf\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-2-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-2-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2各項の共通因数を見つけます。
   • (x ³ + 3x ² )では、x ²は共通因数です。
   • (-6x - 18)では、-6は共通の因数です。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5b\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-3-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-3-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/5b\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-3-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-3-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3共通因子を抽出します。
   • 最初の項から x ²を引くと、 x ² (x + 3) になります。
   • 2番目の項から-6を引くと、-6(x + 3)になります。
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/db\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-4-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-4-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/db\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-4-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-4-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4これら 2 つの項目に同じ要素が含まれている場合は、それらを直接結合できます。 ^[2]
   • 結果は (x + 3)(x ² - 6) となります。
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/2c\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-5-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-5-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2c\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-5-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-5-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5根を観察して解を得ます。ルートを取るときに x ²がある場合、正の解と負の解の両方が存在する可能性があることを覚えておいてください。 ^[3]
   • これにより、-3、√6、-√63 が得られます。
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無料アイテムの使用

1. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2b\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-6-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-6-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/2b\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-6-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-6-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1多項式をax ³ +bx ² +cxに並べます+d. ^[4]
   • たとえば、多項式を因数分解すると、x ³ - 4x ² - 7x + 10 = 0 になります。
2. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/37\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-7-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-7-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/37\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-7-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-7-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2「d」のすべての因数を見つけます。定数「d」は「x」のような変数を含まない数値です。
   • 因数とは、掛け合わせることで別の数値が得られる数値です。ここで、10 または「d」の因数は、1、2、5、10 です。
3. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/e\/ed\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-8-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-8-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/e\/ed\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-8-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-8-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3多項式がゼロになる因数を見つけます。 「x」に d の因数を代入すると、どの因数が方程式の解を与えるかを確認します。
   • 最初の因数1を試し、xを置き換えると、(1) ³ - 4(1) ² - 7(1) + 10 = 0になります。
   • したがって、1 - 4 - 7 + 10 = 0 となります。
   • 0 = 0 は実数なので、 x = 1 が解です。
4. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/5\/59\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-9-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-9-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/5\/59\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-9-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-9-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4並べ替えます。x = 1 の場合は、方程式全体を変更できます。
   • 「x = 1」は「x - 1 = 0」または「(x - 1)」と同等です。それぞれの辺から 1 を引くだけです。
5. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f7\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-10-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-10-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f7\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-10-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-10-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5残りの因数を因数分解します。 「(x - 1)」は根の 1 つです。一度に 1 つの多項式を解き、残りの解が得られるか確認してみましょう。
   • x ³から (x - 1) を抽出できますか? いいえ、しかし第 2 項から -x ²を借りて、 x ² (x - 1) = x ³ - x ²に因数分解することができます。
   • 残りから (x - 1) を抽出できますか?いいえ、3 番目の項目から 3 倍を借りる必要があります -7 倍。したがって、-3x(x - 1) = -3x ² + 3x となります。
   • -7x から 3x を抽出するため、3 番目の項は -10x になり、定数は 10 になります。分解できますか？できる！ -10(x - 1) = -10x + 10 です。
   • (x - 1) を因数分解できるようにいくつかの変数を変更しました。並べ替えられた方程式は x ³ - x ² - 3x ² + 3x - 10x + 10 = 0 ですが、元の x ³ - 4x ² - 7x + 10 = 0 と変わりません。
6. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/80\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-11-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-11-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/80\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-11-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-11-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6自由項を使用して因数分解を続けます。ステップ 5 で (x - 1) を使用して因数分解した数値を注意深く見てみましょう。
   • x ² (x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0 です。これを並べ替えて、より簡単に因数分解することができます: (x - 1)(x ² - 3x - 10) = 0。
   • (x ² - 3x - 10) を因数分解して (x + 2)(x - 5) を得るだけです。
7. {"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8b\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-12-Version-5.jpg\/v4-460px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-12-Version-5.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8b\/Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-12-Version-5.jpg\/v4-728px-Factor-a-Cubic-Polynomial-Step-12-Version-5.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7次に、得られた解は、前に計算された係数です。各項目を元に戻して、正しいかどうかを確認できます。
   • (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 は、解が 1、-2、5 であることを意味します。
   • 式に -2 を代入すると、(-2) ³ - 4(-2) ² - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0 となります。
   • 式に5を代入します: (5) ³ - 4(5) ² - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.
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ヒント

• 3 次多項式は、3 つの線形多項式の積、または因数分解できない 2 次多項式と線形多項式の積です。後者の場合、方程式全体を線形多項式で割って二次多項式を取得します。
• 3 次多項式は、常に因数分解して実数解を得ることができます。これは、すべての 3 次項には実根が必要なためです。 x ³ + x + 1 などの 3 次多項式には無理数の実根が含まれており、整数または有理数の係数を持つ多項式に因数分解することはできません。 3 次方程式を因数分解することは可能ですが、このタイプの方程式は「整数」多項式に因数分解することはできません。 ^[5]