3X3行列の行列式を求める方法

行列の行列式は、微積分、線形代数、高度な幾何学でよく使用されます。行列の行列式を見つけるのは最初は混乱するかもしれませんが、数回実行すると難しくはなくなります。

パート1 パート1/2:

行列式を見つける

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/cb\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-1-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-1-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/c\/cb\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-1-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-1-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1 3×3 行列を書き出します。まず 3x3 行列 A から始めて、その行列式 |A| を見つけようとします。ここで、私たちが使用する一般的な行列表記法と、その例の行列を示します。 ^{[1] X研究ソース}
- $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}$
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8e\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/8\/8e\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2単一行または単一列を選択します。これが参照行または列になります。どの行または列を選択しても、結果は同じになります。ここで、最初の行のみを選択します。後ほど、最も簡単な計算方法を選択する方法についてアドバイスします。 ^{[2] X研究ソース}
- 例の行列 A の最初の行を選択し、1 5 3 を丸で囲みます。一般的に言えば、 ₁₁ a ₁₂ a _{13 を}丸で囲みます。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/25\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-3-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-3-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/2\/25\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-3-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-3-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3最初の要素の行と列を取り消します。丸で囲まれた行または列を見て、最初の要素を選択します。行と列に線を引きます。残りは4つの数字です。これを 2×2 行列として考えます。 ^{[3] X研究ソース}
- この例では、参照行は 1 5 3 です。最初の要素は行 1、列 1 にあります。最初の行と列を消します。残りの要素を2×2行列として書きます。
- ~~1 5 3~~
  2 4 1
  4 6 2
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/84\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-4-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-4-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/8\/84\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-4-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-4-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 42x2 行列の行列式を求めます。覚えておいてください、このマトリックス ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ 展開がad - bcである行列式が存在する。この方法は、2×2 行列に X を描くことで学習できます。 X 内の \ で結ばれた 2 つの数を掛け合わせ、次に / で結ばれた 2 つの数の積を引きます。この式を使用して、先ほど見つけた行列の行列式を計算します。 ^{[4] X研究ソース}
- この場合、行列の行列式は ${\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}$ = 4 * 2 - 7 * 6 = -34 .
- この行列式は、元の行列で選択された要素の補因子と呼ばれます。 ^{[5] X研究ソース}この場合、 a ₁₁の余因子を見つけました。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/47\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-5-Version-3.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-5-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/4\/47\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-5-Version-3.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-5-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5結果を任意の要素で乗算します。どの行と列を消すかを決めるときは、参照行 (または列) から要素を選択していることに注意してください。この要素に、先ほど計算した 2x2 行列の行列式を掛けます。 ^{[6] X研究ソース}
- この場合、値が 1 である₁₁を選択しました。これに -34 (2x2 行列の行列式) を掛けると、 1*-34 = -34になります。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/76\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-6-Version-4.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-6-Version-4.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/7\/76\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-6-Version-4.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-6-Version-4.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6答えの符号を決定します。次に、答えに 1 または -1 を掛けて、選択した要素の補因子を取得します。どちらを使用するかは、3x3 行列内の要素の位置によって異なります。どの要素が正でどの要素が負であるかを判断するには、次の簡単な符号図を覚えておいてください。
- + - +
  - + -
  + - +
- + マークの付いた_{11 を}選択したので、結果に 1 を掛けます。（つまり、そのままにしておくということです）。答えは依然として-34です。
- あるいは、式 (-1) ^i+jを使用して符号を計算することもできます。ここで、 iとj は要素の行番号と列番号です。 ^{[7] XResearchソース}
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/3a\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/3\/3a\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-7-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7参照先の行または列の 2 番目の要素に対してこのプロセスを繰り返します。前に丸で囲んだ行または列を含む元の 3x3 マトリックスに戻ります。この要素についても同じ手順を繰り返します: ^{[8] XResearchソース}
- この要素が配置されている行と列を消します。この場合、要素 a ₁₂ (値 5) が選択されます。最初の行（1 5 3）と2番目の列を消します ${\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}$ 。
- 残りの要素を 2x2 行列として扱います。この場合、行列は ${\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}$
- この 2x2 行列の行列式を見つけます。 AD-BC 式を使用します。 (2*2 - 7*4 = -24)
- 3x3 行列内の選択した要素を乗算します。 -24 * 5 = -120
- -1 を掛けるかどうかを決定します。符号表または (-1) ^ij式を使用します。符号表では負である要素 a ₁₂を選択しました。したがって、結果の符号を変更する必要があります: (-1)*(-120) = 120 。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d1\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-8-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-8-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/d\/d1\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-8-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-8-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 8 3 つの要素に対してこの操作を繰り返します。残りも見つける必要があります。参照された行または列の 3 番目の項目の i を計算します。この場合、 a ₁₃補因子の計算について簡単に説明します。
- 1行目と3列目を消して ${\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}$
- その行列式は 2*6 - 4*4 = -4 です。
- 要素 a に₁₃を掛けます: -4 * 3 = -12。
- 要素 a ₁₃は符号テーブルでは正なので、結果は-12になります。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c6\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-9-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-9-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/c\/c6\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-9-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-9-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 9 3 つの結果を合計します。これが最後のステップです。 1 つの行または列内の各要素に 1 つずつ、合計 3 つの補因子を計算しました。これらを足し合わせると、3x3 行列の行列式が得られます。
- この場合、行列式は-34 + 120 + -12 = 74です。
広告する

パート2 パート2/2:

問題を単純化する

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/10\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-10-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-10-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/1\/10\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-10-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-10-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1参照が最も多い行または列を選択します。任意の行または列を参照として選択できることに留意してください。どちらを選択しても結果は同じです。ゼロを含む行または列を選択した場合は、ゼロ以外の要素の余因子を計算するだけで済みます。その理由は以下の通りである。 ^{[9] X研究ソース}
- 要素 a ₂₁ 、 a ₂₂ 、および₂₃を含む行 2 を選択したとします。この問題を解決するために、3 つの異なる 2x2 行列を見てみましょう。これらを_A21 、 _A22 、 _A23と呼びます。
- 3x3行列の行列式はa ₂₁ |A ₂₁ | - a ₂₂ |A ₂₂ | + a ₂₃ |A ₂₃ |です。
- a ₂₂と a ₂₃が両方とも 0 の場合、式は a ₂₁ |A ₂₁ | - 0*|A ₂₂ | + 0*|A ₂₃ | = a ₂₁ |A ₂₁ | - 0 + 0 = a ₂₁ |A ₂₁ | となります。ここで、1 つの要素の余因子を計算する必要があります。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/ce\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-11-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-11-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/c\/ce\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-11-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-11-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2行の加算を使用して行列を単純化します。ある行の値を別の行に追加しても、行列の行列式は変わりません。列についても同様です。このプロセスを繰り返すか、値を追加する前に定数を掛けて、マトリックスにできるだけ多くのゼロが含まれるようにすることができます。これにより、多くの時間を節約できます。
- たとえば、3×3 行列があるとします。 ${\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$
- ₁₁の 9 を消すには、2 行目に -3 を掛けて、その結果を 1 行目に加算します。新しい最初の行は[9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2]になります。
- 新しいマトリックスは ${\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$ 。列に対しても同じ方法を試し、 ₁₂を 0 に変更します。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/7\/7b\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-12-Version-2.jpg\/v4-460px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-12-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/7\/7b\/Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-12-Version-2.jpg\/v4-728px-Find-the-Determinant-of-a-3X3-Matrix-Step-12-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3三角行列を学ぶ簡単な方法。これらの特殊なケースでは、行列式は、左上隅の₁₁から右下隅の₃₃までの主対角線上の要素の積になります。我々はまだ3x3行列について話しているが、「三角形」行列はゼロ以外の値の特別なパターンを持っている： ^{[10] X研究ソース}
- 上三角行列: すべての非ゼロ要素は主対角線上かその上にあります。以下はすべて 0 です。
- 下三角行列: すべての非ゼロ要素は主対角線上またはその下にあります。
- 対角行列: ゼロ以外のすべての要素は主対角線上にあります。 (上記マトリックスのサブセット)
広告する

ヒント

すべての要素が 0 である行または列がある場合、行列の行列式は 0 になります。
このアプローチは、任意のサイズの正方行列に拡張できます。たとえば、この方法を 4x4 行列に使用すると、「取り消し線」を引いた後に 3x3 行列が得られ、上記のように行列式を計算できます。ただし、手動での計算は非常に面倒なので注意してください。

広告する

<<: 悪口をやめる方法

>>: 平方メートルの計算方法