二次方程式を解く方法

二次方程式は、2 次までの項を含む方程式です。このタイプの方程式を解くには、因数分解、二次方程式、マッチング法の 3 つの方法があります。以下に3つの方法について説明します。

方法1方法1/3:

因数分解

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/17\/Solve-Quadratic-Equations-Step-1-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-1-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/17\/Solve-Quadratic-Equations-Step-1-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-1-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1すべての同類項を結合し、方程式の片側に移動します。まず、すべての同類項を結合し、 ^{x2 を}正に保つ必要があります。結合するには、 ^x2項、x 項、定数項を加算または減算し、等号の片側に移動するだけです。片側に何もない場合は、0 とだけ書きます。方法は次のとおりです。 ^{[1] X研究ソース}
- 2x ² - 8x - 4 = 3x - x ² =
- 2x ² +x ² - 8x -3x - 4 = 0
- 3x ² - 11x -4 = 0
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/89\/Solve-Quadratic-Equations-Step-2-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-2-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/89\/Solve-Quadratic-Equations-Step-2-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-2-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2式を因数分解します。因数分解するには、 ^x2項(3)と定数項(-4)の因数を使用し、それらを乗算して中間項(-11)になるようにします。次の手順に従ってください。
- 3x ²には 3x 、 x という唯一の因数しかないので、括弧で囲んで (3x +/- ? )(x +/- ?) = 0 と書きます。
- 次に、4 を因数分解して、掛け合わせると -11x になる組み合わせを見つけます。 4 と 1、または 2 と 2 の組み合わせを使用できます。定数項が -4 であるため、項の 1 つは負であることを覚えておいてください。
- (3x +1)(x -4) を試して掛け合わせると、-3x ² -12x +x -4 が得られます。 -12x と x を組み合わせると、ターゲットの中間項である -11x が得られます。これは二次方程式を因数分解します。
- 例として、うまくいかない別の解法を試してみましょう: (3x -2)(x +2) = 3x ² +6x -2x -4 、これを組み合わせると 3x ² -4x -4 になります。 -2 と 2 を掛け合わせると -4 になりますが、中間の項は依然として間違っています。-4x ではなく -11x になるからです。
3括弧で囲まれた項をすべて 0 とし、別々の式にします。つまり、3x +1 = 0、x - 4 = 0 となります。これにより、方程式全体が 0 になることを保証する x の 2 つの解を見つけることができます。因数分解した後、括弧を 0 にするだけです。しかし、なぜ？数学の原理によれば、掛け算で 0 を得るには因数の 1 つが 0 でなければならないため、括弧内の結果の少なくとも 1 つは 0 でなければなりません。したがって、(3x + 1) または (x - 4) は 0 でなければなりません。つまり、 $3x+1=0$ と書くこともできる。 $x-4=0$ 。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/b\/b2\/Solve-Quadratic-Equations-Step-4-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-4-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/b\/b2\/Solve-Quadratic-Equations-Step-4-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-4-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4各方程式を個別に解きます。二次方程式では、x の解が 2 つあり、それぞれの解を個別に解く必要があります。
- 3x + 1 = 0を解く
  - 3x = -1 ..... 減算
  - 3x/3 = -1/3 ..... 割り算
  - x = -1/3 ..... 簡略化する
- x - 4 = 0を解く
  - x = 4 ..... 減算
- x = (-1/3, 4) ..... は、x = -1/3 または x = 4 という複数の可能な解を与え、答えは同じになります。
5 (3x + 1)(x – 4) = 0 において x = -1/3 であることを確認します。

計算してみましょう: (3[-1/3] + 1)([-1/3] – 4) ? =? 0 .....代入すると (-1 + 1)(-4 1/3) ? =? 0 .....簡略化すると (0)(-4 1/3) = 0 .....掛け算すると 0 = 0 .....はい、x = -1/3
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/4\/4a\/Solve-Quadratic-Equations-Step-6-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-6-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/4\/4a\/Solve-Quadratic-Equations-Step-6-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-6-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 6 (3x + 1)(x - 4) = 0 において x = 4 であることを確認します。

計算してみましょう (3[4] + 1)([4] – 4) ? =? 0 ..... (13)(4 – 4) ? =? 0 に代入します .....簡略化する (13)(0) = 0 .....0 を掛けます = 0 .....はい、x = 4 も正解です
- したがって、個別に「検証」した後、両方のソリューションで正しい結果が得られました。
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方法2方法2/3:

二次方程式の公式を使う

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/11\/Solve-Quadratic-Equations-Step-7-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-7-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/11\/Solve-Quadratic-Equations-Step-7-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-7-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1すべての同類項を結合し、等号の側に移動します。上記の手順と同様に、それらを脇に移動し、 ^{x2 を}正の数のままにして、 ^{x2 を}最初、x を真ん中、定数項を最後になるように大きさ順に並べます。
- 4x ² - 5x - 13 = x ² -5
- 4x ² - x ² - 5x - 13 + 5 = 0
- 3x ² - 5x - 8 = 0
2二次方程式を書きます: {-b +/-√ (b ² - 4ac)}/2a
3a、b、cの値を求めます。ここで、a は二次項の係数、b は一次項の係数、c は定数項です。 3x ² -5x - 8 = 0、a = 3、b = -5、c = -8。書き留めてください。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/8\/8f\/Solve-Quadratic-Equations-Step-10-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-10-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/8\/8f\/Solve-Quadratic-Equations-Step-10-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-10-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4既知の a、b、c を式に代入し、以下の手順に従います。
- {-b +/-√（b ² - 4ac）}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5) ² - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5) ² - (-96))}/2(3)
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/f\/f1\/Solve-Quadratic-Equations-Step-11-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-11-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/f\/f1\/Solve-Quadratic-Equations-Step-11-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-11-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 5解を計算します。式にa、b、cを代入して解を計算します。次のように：
- {-(-5) +/-√ ((-5) ² - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
6部首を簡略化します。平方根に完全な平方が含まれる場合は整数になりますが、含まれない場合は最も単純な形式に簡略化します。負の場合、解決策は複雑です。ここで√(121) = 11です。したがって、x = (5 +/- 11)/6 となります。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d7\/Solve-Quadratic-Equations-Step-13-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-13-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d7\/Solve-Quadratic-Equations-Step-13-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-13-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7正の解と負の解を解きます。平方根を消去すると、正の根と負の根の 2 つがあることがわかります。つまり (5 +/- 11)/6 となり、2 つの根が得られます。
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/c\/c0\/Solve-Quadratic-Equations-Step-14-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-14-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/c\/c0\/Solve-Quadratic-Equations-Step-14-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-14-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 8 次の2 つを解きます。
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/0\/0a\/Solve-Quadratic-Equations-Step-15-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-15-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/0\/0a\/Solve-Quadratic-Equations-Step-15-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-15-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 9簡略化されたソリューション。上側の分数と下側の分数を最大公約数で割ることで、分数を簡略化できます。最初の因数を 2 で割り、2 番目の因数を 6 で割ると解が得られます。
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
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方法3方法3/3:

方法

{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/16\/Solve-Quadratic-Equations-Step-16-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-16-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/1\/16\/Solve-Quadratic-Equations-Step-16-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-16-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 1すべての同類項を等号の片側に結合します。 aまたは^x2係数は正の数であることに注意してください。次の手順に従ってください。
- 2x ² - 9 = 12x =
- 2x ² - 12x - 9 = 0
  - この式では、 aは2、 bは-12、 cは-9です。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/d7\/Solve-Quadratic-Equations-Step-17-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-17-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/d7\/Solve-Quadratic-Equations-Step-17-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-17-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 2 cまたは定数を等号の反対側に移動します。定数項は変数を含まない項です。等号の右に移動します。
- 2x ² - 12x - 9 = 0
- 2x ² - 12x = 9
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/2\/20\/Solve-Quadratic-Equations-Step-18-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-18-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/2\/20\/Solve-Quadratic-Equations-Step-18-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-18-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3両辺を^x2係数で割ります。 ^x2に係数がない場合、または係数が 1 しかない場合は、この手順をスキップします。この例では、すべての項を 2 で割ります。
- 2x ² /2 - 12x/2 = 9/2 =
- x ² - 6x = 9/2
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/d\/df\/Solve-Quadratic-Equations-Step-19-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-19-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/d\/df\/Solve-Quadratic-Equations-Step-19-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-19-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 4 bを 2 で割って平方数を求め、この平方数を両辺に加えます。ここで b は -6 であり、次のように処理されます。
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x ² - 6x + 9 = 9/2 + 9
5両辺を同時に簡略化します。左側は(x-3)(x-3)または(x-3) ²で、右側の数字を足すと9/2 + 9または9/2 + 18/2となり、27/2となる。
6両辺の平方根を求めます。 (x-3) ²の平方根は(x-3)です。 27/2の平方根は±√(27/2)です。したがって、x - 3 = ±√(27/2)
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/3\/37\/Solve-Quadratic-Equations-Step-22-Version-3.jpg\/v4-460px-Solve-Quadratic-Equations-Step-22-Version-3.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images\/thumb\/3\/37\/Solve-Quadratic-Equations-Step-22-Version-3.jpg\/v4-728px-Solve-Quadratic-Equations-Step-22-Version-3.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":" class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 7平方根を簡略化して x について解きます。 ±√(27/2)を簡略化するには、2または27の完全な平方因数を見つける必要があります。 9 は 27 の完全な平方因数であり、9 x 3 = 27 です。 9 を出すには、9 の平方根 3 を平方根記号の外側に書き、因数分解できない 3 と分母の 2 を平方根記号の内側に残します。次に、等号の左側の 3 を移動して、2 つの x 解を求めます。
- x = 3 + (√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
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ヒント

平方根を完全に除去することはできないことがわかります。したがって、分子部分は結合できません (同じタイプの数値ではないため)。したがって、プラス記号とマイナス記号を区別することにはあまり意味がありません。平方根以外の定数項と係数を因数分解して簡略化する必要があります。
平方根の下の数値が完全な平方数でない場合は、最後のいくつかの手順が少し異なります。

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