二次多項式（二次方程式）を因数分解する方法

この記事では、二次多項式を因数分解する方法を説明します。多項式は、1 つの変数 (x)、特定の次数の x、およびその他のさまざまな変数と定数で構成されます。 2 次多項式を複数の多項式因数の乗算の形に因数分解するには、数学のレベルが代数 I 以上である必要があります。そうでない場合、この方法の原理を理解するのは困難です。この記事で使用されている2次多項式の標準形は、ax ² + bx + c = 0です。

ステップ

1式を記述します。頻度順に並べ、最大公約数がある場合はそれを取り出します: 6 + 6x ² + 13x、6x ² + 13x + 6
2 因数分解の結果を求めるには、次のいずれかの方法を使用します: (2x + 3)(3x + 2)
3 FOIL (最初の乗算、外側の乗算、内側の乗算、および 2 番目の乗算。これは多項式の乗算を展開するための段階的な方法です) を使用して、同類項を因数分解して結合します: (2x + 3)(3x + 2)、6x ² + 4x + 9x + 6、6x ² + 13x + 6。広告する

方法1方法1/6:

試行錯誤

多項式が十分に単純な場合は、自分で因数を見つけることができます。注意: この方法では、より複雑な三項式を因数分解できない場合があります。例: 3x ² + 2x - 8

1 a と c の因数を書き出します。a = 3 因数: 1 と 3、c = -8 因数: 2 と 4、1 と 8
2 スペースを空けて 2 組の括弧を記述します: ( x )( x )
3 x の前の a の可能な因数のペアを記述します。この例では、因数のペアは 1 つしかありません ( 3 x) ( 1 x)
4 c の因数を x 項の後に 2 つずつ書きます。まず (3x 8 )(x 1 ) を試してください。
5x 項と定数項の符号を決定します。方法は次のとおりです: ax ² + bx + c の場合は (x + h)(x + k)、ax ² - bx - c または ax ² + bx - c の場合は (x - h)(x + k)。 ax ² - bx + c なら (x - h)(x - k) です。この場合は 3x ² + 2x - 8 なので、答えは (x - h)(x + k) の形式になります。次に、(3x + 8)(x - 1) を試してください。
6 2 つの括弧を展開します。中間の項が正しくない場合は、簡略化が正しくありません (c の因子の選択が間違っています)。 (3x + 8)(x - 1)、3x ² - 3x + 8x - 8、3x ² + 5x - 8 ≠ 3x ² + 2x - 8
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- cは現在-8です。
- ただし、外側の項と内側の項の積はそれぞれ -12x と 2x であり、これらを組み合わせて +2x を形成することはできません。
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- cはまだ正しいです。
- 外側の項と内側の項の積は -6x と 4x なので、これら 2 つの数値の合計は 2x とちょうど逆になります。
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- cはまだ正しいです。
- 外積と内積はそれぞれ 6x と -4x になります。合計すると2倍になるので、今回は正解です。
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方法2方法2/6:

分解法

推測方法が気に入らない場合は、これを試してみてください。

例: 6x ² + 13x + 6

1 aとcを掛けます。この場合、6•6 = 36です。
2 36 に掛け算して b(13) に加算する 2 つの数値を求めます。4•9 = 36 4 + 9 = 13
3 2つの数値をkとhに設定します（順序は問いません）： ax ² + kx + hx + c、6x ² + 4x + 9x + 6
4グループに分けて因数分解します。方程式を並べ替えて最大公約数 ((3x+2)) を導き出し、同類項を組み合わせて因数分解した答えを得ます。 6x ² + 4x + 9x + 6、2x(3x + 2) + 3(3x + 2)、(2x + 3)(3x + 2)

方法3方法3/6:

トリプルアプローチ

この方法は因数分解法と非常に似ていますが、より単純です。例: 8x ² + 10x + 2

1a と c を掛けます。 8•2 = 16
2積が16で加算がb(10)となる2つの数を見つけます。 2•8 = 16 8 + 2 = 10
3 2 つの数値 ( h 、 k ) を次の式に代入します: (ax + h)(ax + k)---------------------- a(8x + 8)(8x + 2)---------------------- 8 (図に示すように)
4括弧内のどの項目が a で割り切れ、その商が偶数になるかを確認します。 { (この場合は8x + 8)}。この数をaで割り、他の項はそのままにします (8x + 8)(8x + 2)---------------------- 8、答え: (x + 1)(8x + 2)
5 2つの括弧に最大公約数がある場合は、それを次のように表します: (x + 1)(8x + 2), 2(x + 1)(4x + 1)

方法4方法4/6:

2つの正方形の差

1必要に応じて、最大公約数を見つけます。 27x ² - 12, 3 (9x ² - 4)
2方程式が 2 つの平方数の差であるかどうかを確認します。項は 2 つある必要があります。そうでないと、方程式を均等に分解できません。 √(9x ² ) = 3x , √(4) = 2 （負の根は省略されていることに注意してください。）
3方程式の「a」と「c」を次の式に代入します:(√(a) + √(c))(√(a) - √(c))3[(√(9x ² ) + √(4))(√(9x ² ) - √(4))]3[(3x + 2)(3x - 2)]

方法5方法5/6:

二次方程式の公式を使う

上記の方法がどれもうまくいかない場合は、二次方程式を使用します。例：x ² + 4x + 1

1対応する量をこの式に代入します。 x = -b ± √(b ² - 4ac) --------------------- 2a、 x = -4 ± √(4 ² - 4•1•1) ----------------------- 2•1 (図に示すように)
2 x について解きます。 2 つの x を取得します。 x = -4 ± √(16 - 4) ------------------ 2x = -4 ± √(12) -------------- 2x = -4 ± √(4•3) -------------- 2x = -4 ± 2√(3) -------------- 2x = -2 ± √(3)、x = -2 + √(3) または x = -2 - √(3) (図に示すように)
3 x値（ h 、 k ）を式（x - h）（x - k）、（x -（-2 + √（3））（x -（-2 - √（3））、（x + 2 + √（3））（x + 2 - √（3））に代入します。

方法6方法6/6:

電卓を使う

これらの手順は、TI グラフ電卓での使用に合わせて調整されており、標準化されたテストに特に役立ちます。

1入力 [Y = ] : y = x ² − x − 2
2[GRAPH]を押してグラフを描画します。
{"smallUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/images_en\/thumb\/1\/1f\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-30-Version-2.jpg\/v4-460px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-30-Version-2.jpg","bigUrl":"https:\/\/www.wikihow.com\/i mages\/thumb\/1\/1f\/Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-30-Version-2.jpg\/v4-728px-Factor-Second-Degree-Polynomials-%28Quadratic-Equations%29-Step-30-Version-2.jpg","smallWidth":460,"smallHeight":345,"bigWidth":728,"bigHeight":546,"licensing":"<div class=\"mw-parser-output\"><\/div>"} 3 x軸との交点を求めると、(-1, 0)、(2, 0)、x = -1、x = 2となる。
- 表示されない場合は、[2nd] - [TRACE]を押し、[2]を押すか、「0」を選択してください。交差点の左側に移動して [ENTER] を押し、交差点の右側に移動して [ENTER] を押し、x 軸と交差する点にできるだけ近づいて [ENTER] を押すと、計算機は自動的にその点の水平座標を計算します。他の交差点についてもこの手順を繰り返します。
4 x 値 ( hとk ) を式 (x - h)(x - k)、(x - (-1))(x - 2) に代入し、(x + 1)(x + (-2)) に並べ替えて 2 つの交点を示します。広告する

ボックスメソッド（視覚的ソリューション）の使用

このウェブサイトで説明されています: http://www.purplemath.com/modules/factquad3.htm

ビデオの説明: http://www.youtube.com/watch?v=bq1Iw1w1Bgo

ヒント

二次方程式の公式を使用して根を持つ多項式を因数分解した場合、解が正しいことを確認するために x を分数に変換する必要がある場合があります。
項に係数がない場合、係数は 1 になります。 x ² = 1x ²
TI-84 電卓 (グラフを描画できる) をお持ちの場合は、二次方程式を解くことができる SOLVER というプログラムがあります。このプログラムは、他の任意の次数の多項式も解くことができます。
項が存在しない場合は、その係数は 0 になります。 0という項を書き出すと便利な場合もあります。例えば、x ² + 6 = x ² + 0x + 6
試行錯誤の方法に慣れる前に、まず試してみたい要素を書き留めておき、慣れてきたら頭の中で計算してみましょう。

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